玉英广西钦州市外国语学校535000
摘要:解题教学是数学教学的重要组成部分。通过解题后的反思激发学生学习数学的兴趣和求知欲,开拓思维,提高分析问题的能力,是初中数学实施素质教育的重要课题。
关键词:解题反思发现能力提高
解题教学是初中数学教学的重要环节。许多数学教师都会发现,不少学生虽然喜欢解题,但只考虑答案是否正确,题目一旦获解,就会产生满足感,往往不愿再回头看看,不愿再想想这种解法是否最佳、还可不可以改进,忽视了解题后的反思,这是很可惜的事。
事实上,教师如果在平时的教学中经常做分析工作,引导学生在解决了数学问题后,通过本质步骤的把握而改进题解,学生将享受到学习数学的无穷乐趣,对于增强分析能力和提高领悟水平都是很有好处的。
一、加深对题目特征的本质领悟,从而获得一系列的思维成果,这有助于培养思维的深刻性。
如解完苏科版八(下)P100例4后,根据题目特征,又把它改编为一道开放题:
如图1在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,根据上述条件,结合图形直接写出你能得出的结论,并加以证明。
问题一出,课堂顿时沸腾了,教师适时组织讨论,有的同学回答∠1=∠B、∠2=∠A,便可得△ACD∽△CBD。进一步讨论得△ABC∽△ACD∽△CBD(教材例题),又有同学指出,有相似就应有对应线段成比例,教师给予肯定,并要求学生通过对应线段成比例找出等积式,这样全班大部分同学都能得到:CD2=AD·BD,BC2=BD·AB,AC2=AD·AB(射影定理)。见到有两条直解边AC、BC的平方,教师提醒,将两条直角边的平方加起来试试,于是迅速得出AC2+BC2=AB2(勾股定理)。同学们兴趣高涨,继续探究,最后学习委员发言:根据面积法可得AB·CD=BC·AC,如果知道两直角边,就可求出斜边上的高,这比其他方法求高要容易得多。通过这一例题充分激发了学生探求问题结论的热情,做到了一题多得、一题多用、一题多变,从而达到做了一题会一类的目的。
二、解完一道题后,考虑能否根据该题的基本特征与特殊因素,进行多角度的观察、联想,找到更多的思维通路,有助于培养思维的广阔性。
如苏科版七(上)P110第11题:
甲乙两站相距448km,一列慢车从甲站出发,速度为60km/h;一列快车从乙站出发,每小时行驶100km/h。
(1)两车同时出发,相向而行,出发后多少时间两车相遇?
(2)两车相向而行,慢车先出发30分钟,快车开出后多少时间两车相遇?
教师引导学生以“两列火车行驶的路程之和等于448km”为基本特征进行分析,学生很快就能将文字所叙述的数量关系用符号语言表示出来。
(1)60x+100x=448
(2)60(x+1/2)+100x=448
变式1:甲、乙两站相距448km,一列慢车从甲站开出,每小时行驶60km,一列快车从乙站开出,每小时行驶100km,两列火车同时出发,刚行1小时时,快车出了故障,停下来修理了25分钟后再行,经过多少小时两车相遇?“基本特征”未变,只是快车行驶的时间变换一种方式给出,方程为60x+100(x-5/12)=448。
变式2:甲、乙两站相距450km,一列慢车和一列快车同时分别从甲、乙两站开出,两车的速度之比为3:2,相遇时,两车各行了多少千米?
三、解完一道题后,认真分析解题过程有无回路、哪些过程可以重合或转换,有助于缩短解题长度,从而培养思维的批判性。
如华师大版九(上)P91习题第4题:
已知点D、E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE。
求证:BC=CE。
此题在学生作业中有六种证法:
证法一:∵AB=AC,∴∠B=∠C;
∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED得∠ADB=∠AEC,
∴△ABD≌△ACE(AAS);∴BD=CE。
证法二:(如上)在证法一证到∠ADE=∠AED后,再证明∠BAD=∠CAE,利用“ASA”证△ABD≌△ACE得到BD=CE。
证法三:在证法二中证到∠BAD=∠CAE后,
由∠BAD+∠CAE=∠CAE=∠DAE,利用“ASA”证∠BAE≌△CAD得BE=CD。
证法四:在证法一证到∠ADE=∠AED后,用“AAS”证明△ABE≌△ACD得BE=CD。
由BE-CE=CD-DE得到BD=CE。
证法五:过A点作AG⊥BC于G。
∵AB=AC,AD=AE,
由等腰三角形“三线合一”得BG=CG,DG=EG。
由BG-DG=CG-EG,得到BD=CE(课本例题证法)。
证法六:利用等腰三角形是轴对称图形,
△ABD和△ACE是关于AG的轴对称,
即得BD=CE。
事实上本题中第六种证法远较前五种证法高明,通过作业讲评,它可让学生具体地认识到正确的不一定是最好的,课本例题的解答还有改进的可能,要善于运用新知识解题。这样在教师的指导下,学生便会自觉地积极思维,不断地破除旧信息造成的思维定势,形成将新信息迁移到具体运用的兴趣,而不仅仅以做对习题为满足。
四、解完一道题后,应反思根据此题要求解得的结论,能否从其他角度更新审视题目,得出更简捷优美的解法,培养思维的创造性。
如人教版七(上)想一想内容:希腊数学家丢番图(公元前3-4世纪)的基碑上记载着:他生命的六分之一是幸福的童年;再活了他寿命的十二分之一,两颊长起了细细的胡须;他结婚了,又度过了一生的七分之一;再过五年,他有了儿子,感到很幸福,可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半;儿子死后,他在极度悲痛中度过了四年,也与世长辞了。请回答:(1)他结婚时的年龄;(2)他开始当爸爸时的年龄;(3)他儿子死时他的年龄;(4)他去世时的年龄。
学生一般这样解:设他去世时的年龄为x,依题意得:
通过解方程,得出题中的全部解。
引导学生深入想一想,这道题是否可以不列方程而求解呢?不少学生马上意识到,这是可能的,因为从题意可知,他的年龄应是6、12、7、2的最小公倍数84,而其他公倍数是不可能的。例如168,则其六分之一,应是28,28岁还是童年吗?而且一般人也活不到168岁。
总之,解题后及时的、卓有成效的反思,既能使学生用较少的时间、较小的题量,达到同样的复习效果;更重要的是有助于学生在原有的基础上,进一步建立起更为良好的、更高层次的认识结构,实现“应试教育”向“素质教育”的转变。