一、Second Boundary Value Problems for 2n-th Order Nonlinear Differential Equations（论文文献综述）
邵亨武[1]（2021）在《若干三阶微分方程边值问题解的存在性与多解性》文中提出非线性微分方程边值问题是微分方程领域的研究分支之一,自然界的很多数学模型都能用它来表达,如梁的变形、生物数学模型、传染病系统、经济增长模型等等,所以微分方程边值问题受到人们的关注和重视.差分方程常被视为微分方程的离散形式,有很强的的实际应用背景,在计算机、信息系统、天文、物理等领域有着广泛的应用,而且也逐渐成为人们研究的热点问题之一.本论文研究几类非线性微分方程三点边值问题解的存在性、正解的存在性与多解性,三阶线性非齐次h-差分方程的Hyers-Ulam稳定性.主要工具是上下解方法、Schauder不动点定理、锥上的不动点定理与不动点指数定理、Z变换方法等.全文分五章.第一章介绍有非线性微分方程、差分方程边值问题产生的背景知识、当前国内外的研究现状和本文的主要内容.第二章利用上下解方法研究两类三阶非线性常微分方程三点边值问题解的存在性.与已有工作不同,研究的边值条件加入参数?,通过建立新的比较定理和Schauder不动点定理,获得新的结果.通过构建增算子,得到一类三阶微分方程非线性三点边值问题的多解性.第三章基于锥上的不动点定理和不动点指数定理,分别研究两类非线性三阶微分方程三点边值问题正解的存在性与多解性.根据边值条件的特点和方程的类型,通过在Banach空间C[0,1]中和C1[0,1]中分别构造适当的锥,结合Green函数的性质,利用锥上的不动点定理以及不动点指数定理,获得边值问题正解的存在性与多解性.第四章基于差分方法和Z变换方法研究三阶非齐次线性h-差分方程的Hyers-Ulam稳定性.已有工作中,研究三阶h-差分方程的Hyers-Ulam稳定性的文章很少,在给定的初始条件,通过Z变换,获得方程具有Hyers-Ulam稳定性的结果,同时给出一些方程解的关系式.第五章总结本文的工作,并对后续工作进行展望.
何育宇[2]（2021）在《几类非线性偏微分方程的高精度有限差分格式研究》文中研究表明非线性偏微分方程的数值方法已广泛应用于现代科学与工程领域中,然而绝大多数数值方法收敛精度低、效率慢等,无法满足实际工程应用中.因此高精度算法的研究在工程计算中非常重要.本文应用有限差分法具体研究了广义Rosenau-Kd V（GRKd V）方程、耗散广义对称正则长波（DGSRLW）方程、对称正则长波（SRLW）方程和非线性耦合Schr?dinger（CNLS）方程的高精度数值算法.首先,对GRKd V方程构造了一种三层线性高精度差分格式,利用离散能量法证明了格式的守恒性、解的有界性和唯一可解性、格式的稳定性和L∞-范数下O（τ2+h4）的收敛阶.数值算例验证了理论分析和格式求解的有效性,并很好地应用到求解Kd V方程.其次,对DGSRLW方程讨论了方程解的性质,构造了两种分别为两层非线性耦合和三层线性解耦高精度差分格式,利用离散能量法证明了两个格式的能量耗散性、解的有界性、存在性和唯一性、格式的稳定性和L∞-范数和L2-范数下O（τ2+h4）的收敛阶.对两层非线性耦合格式设计了一种收敛迭代算法并证明了其收敛性.数值实验中研究了取不同阻尼系数时波-波正面碰撞和追赶碰撞的演化以及碰撞系统的总能量耗散的变化.然后,对SRLW方程构造了一种四层线性高精度紧致差分格式,利用离散能量法证明了格式的守恒性、解的有界性和唯一可解性、格式的稳定性和L∞-范数下O（τ2+h4）的收敛阶.数值算例验证了紧致格式的守恒性、收敛精度和稳定性,研究了波-波正面碰撞和追赶碰撞的演化.最后,对CNLS方程构造了一种两层非线性耦合高精度差分格式,利用离散能量法证明了格式的守恒性、解的有界性、存在性和唯一性、格式的稳定性和L∞-范数下O（τ2+h4）的收敛阶.设计了一种收敛迭代算法并证明了其收敛性.数值算例验证了理论分析,研究了两个孤子的三种碰撞情形,模拟结果与文献[51,57,67]研究结果相吻合.
乔海丽[3]（2021）在《分数阶微分方程的高精度高效算法》文中研究指明分数阶微分方程广泛应用于流体力学、湍流和粘弹性力学、反常扩散、多孔介质中的分形和色散、信号处理与系统识别、电磁波等领域,分数阶算子的非局部性对现实世界中具有记忆与遗传性质的材料给出了更好的解释,更利于对各类复杂力学与物理行为进行建模。但分数阶微分方程大多数情况下无法解析地求解,只有极少数可以通过Mittag-Leffler函数、H-函数与Wright等复杂函数表示其解析解,而且这些函数计算比较困难。因此,许多学者致力于研究其数值解,常见的数值求解方法包含有限差分方法、有限元方法和谱方法。此外,还有少数采用有限体积元、无网格等方法求解。另外,分数阶不同于传统的整数阶导数,其具有非局部性,使得求解分数阶方程的数值格式通常需要比较大的存储空间和计算量,针对此问题大家提出了快速求解方案,如:快速傅里叶变换、指数和近似（SOE）、本征正交分解技术（POD）等。然而,对于时间分数阶方程的快速高效求解方案研究比较少,本文将对时间分数阶微分方程的高精度高效求解方法进行研究。本文,首先,对具有Caputo-Fabrizio导数的一维、二维分数阶Cattaneo方程,建立Crank-Nicolson型的紧致有限差分格式,并对数值格式进行理论分析,另外,考虑直接数值求解需要高计算成本,我们基于数值格式相邻时间层的递归关系提出一种快速求解方法,有效减少计算量和存储量。其次,考虑基于Caputo-Fabrizio导数的时间分布阶偏微分方程,开发了两种无条件稳定的格式,并对其进行理论分析,证明了在离散的L2范数意义下两格式都是无条件稳定的,它们的收敛速度分别为O（τ2+h2+Δα2）和O（τ2+h4+Δα4）,其中Δα,h和τ分别表示分布阶,空间和时间剖分步长。第三,考虑分数阶方程的解通常具有弱奇异性,我们对分数阶非线性常微分方程和线性偏微分方程的等价积分方程在三种非均匀网格上进行求解,这些非均匀网格根据正整数幂求和公式设置,并对数值格式进行误差估计。第四,具有Caputo导数的时间分数阶扩散方程解具有弱奇异性,我们考虑在三种非均匀网格上对分数阶导数采用L2-1σ格式进行离散,并对数值格式进行了稳定性分析和误差估计。第五,考虑具有Caputo分数阶导数的一维、二维时间分数阶扩散方程,为避免在均匀网格上求解导致数值格式降阶,我们对时间分数阶导数在标准分层网格上采用L1-2格式进行离散,并对分数阶导数离散格式进行局部截断误差估计,此外,对数值格式提出了降阶外推算法,有效减少计算量。第六,考虑有限差分方法和有限元等方法需要先构造网格,不便于求解复杂区域问题,我们对具有Caputo分数阶导数的二维时间分数阶对流扩散方程,导出有限差分/RBF无网格算法,并利用RBF降阶外推算法减少计算量。具体地:第一章,首先对分数阶微积分进行概要介绍,给出几个分数阶导数的定义。然后,对本文研究内容进行简单介绍。第二章,对具有无奇异核的时间分数阶导数的Cattaneo方程提出了快速紧致有限差分方法。我们首先对一维问题做研究,方程中的空间导数项采用紧致差分算子离散,对Caputo-Fabrizio分数阶导数采用Crank-Nicolson近似,从而导出Cattaneo方程的数值离散格式。然后,对离散格式进行稳定性分析和误差估计,证明了所提出的紧致有限差分格式具有四阶空间精度和二阶时间精度。随后,我们将一维问题推广到二维问题,推导出高阶格式,并给出相应的理论分析。另外,由于分数阶导数是历史相关、非局部的,因此需要巨大的存储空间和计算成本,这意味着极高的工作量消耗,尤其是对于长时间的仿真。我们对时间导数的离散格式进行观察分析,发现相邻时间层数值格式间存在递归关系,基于此我们给出了 Caputo-Fabrizio分数导数的有效快速求解方案,使得计算量由O（MN2）降为O（MN）,存储量由O（MN）减少为O（M）。最后,通过一些数值实验,验证了理论分析的正确性和快速算法的可行性。第三章,针对一维空间中具有Caputo-Fabrizio分数阶导数的时间分布阶偏微分方程,开发了两种有效的有限差分格式。一种对积分项采用复合梯形公式近似,对空间导数项采用二阶中心差商近似;另一种对积分项采用复合辛普森公式近似,空间导数项采用紧致差分算子近似。对以上两种格式进行稳定性分析和误差估计,证明这两种格式在离散的L2范数意义下都是无条件稳定的,它们的收敛速度分别为O（τ2+h2+Δα2）和O（τ2+h4+Δα4）,其中Δα、h和τ分别是分布阶、空间和时间剖分步长。最后,通过数值算例验证理论分析结果。第四章,考虑具有Caputo导数的分数阶非线性常微分方程和线性反应扩散方程。通常分数阶微分方程的解在初始时刻具有弱奇异性,若采用有限差分方法在均匀网格上求解,所得格式难以获得最优收敛阶。文章[1]将分数阶非线性常微分方程转化为等价积分方程,对时间区域进行非均匀剖分,积分项分别采用复合矩形公式、复合梯形公式近似,另外,考虑非线性方程采用上述两种方法计算时比较复杂,引入了预测校正格式,理论分析及数值实验均表明方程解的正则性对收敛阶存在影响。我们在其基础上进行拓展,根据k次幂公式,针对k=4,5我们提出另外两种非均匀网格,对分数阶非线性常微分方程的等价积分形式在新提出的格式上采用上述方法离散,理论分析证明在新提出的网格上离散问题可以得到更好的收敛阶。另外,我们考虑了具有弱奇异解的分数阶线性反应扩散方程,将其转化为等价积分方程,采用复合梯形公式在三种非均匀网格上逼近积分项,空间导数在均匀网格上采用有限差分方法离散,并对数值格式进行了收敛性分析,证明了对不同的非均匀网格我们均可获得最优收敛阶,最后,通过几个数值实验验证理论结果,并对在三种网格上计算的结果进行比较分析。第五章,考虑具有Caputo分数阶导数的时间分数阶扩散方程。考虑到该类方程解在初始时刻具有奇异性,在均匀网格上离散难以得到理想收敛阶,因此,我们根据k次幂公式,针对k=3,4,5建立了三种非均匀网格,分别记为网格2、网格1和网格3。在非均匀网格上采用L2-1σ格式对时间分数阶导数进行离散,其中σ=1-α/2,在均匀网格上采用中心差商公式对扩散项离散,导出模型方程的数值格式。通过理论分析,我们得到在不同的非均匀网格下离散所得数值求解格式有不同的时间收敛阶O（N-min{kα,2}）,其中N表示时间剖分份数,并对格式稳定性进行了分析。最后,通过几个数值算例验证了理论分析结果,通过观察计算结果我们发现在网格1上计算可以得到更精确的解,对于(α≥0.5,在网格1上计算具有二阶收敛速度,这对于具有可调参数r的分层网格是最佳的。另外,为了比较我们也在标准分层网格上进行了计算,发现对于α≥0.5的情况,网格1的数值误差也要好于标准分层网格的数值误差。第六章,对于具有Caputo分数阶导数的一维和二维时间分数阶扩散方程,我们考虑其解在初始时刻具有奇异性的情形,为得到理想的收敛阶,对于Caputo时间分数阶导数项,我们在分层网格上采用L1-2格式进行离散,而空间导数项在均匀网格上采用经典中心差分格式近似,并且对时间离散格式进行了局部截断误差估计,由于数值格式中的系数正负性比较复杂,数值格式的整体稳定性分析仍然是一个未解决的问题。另一方面,考虑到数值求解计算量比较大,我们基于奇异值分解和本征正交分解（POD）技术对直接离散所得格式进行优化,得到了降阶有限差分外推算法,降阶算法使得每个时间层未知量个数极大地减少。数值算例验证了数值格式的收敛性,时间收敛阶达到O（N-min{rα,3-α}）,同时验证了降阶算法的有效性,降阶有限差分格式与直接离散得到的有限差分格式比较计算所得数值结果相差甚微,而降阶有限差分格式计算所需时间明显缩短。第七章,对在初始时刻具有奇异性的分数阶对流扩散方程进行研究,导出了快速有限差分/RBF无网格方法。我们首先对时间导数项在分层网格上采用经典的L1格式离散,导出问题的半离散格式。其次,对RBF形函数构造进行简单介绍,然后采用RBF无网格方法对空间离散,导出分数阶对流扩散方程的全离散格式。无网格方法不需要构造网格,从而更利于处理复杂区域或者复杂边界条件问题。然而,无网格方法也同样存在计算效率问题,为解决这个问题,我们采用本征正交分解（POD）技术与RBF无网格方法相结合,对分数阶对流扩散方程建立了一种具有较低维数的降阶无网格外推算法。最后,研究了不同问题区域和不同节点分布的数值算例,并采用有限差分方法对问题进行求解并与RBF无网格方法进行比较,验证降阶外推无网格方法可以获得较好的精确度,而且有效节省计算时间。第八章,对全文进行总结,并对未来主要研究方向进行简单介绍。
贾凯军[4]（2021）在《两类二阶微分包含问题的可解性研究》文中研究说明本学位论文运用集值映射的锥上不动点定理与分歧理论,分别研究了带周期边界条件和Dirichlet边界条件的二阶微分包含问题正解的存在性、全局结构与结点解.主要工作如下:1.运用集值映射的锥上不动点定理获得了二阶微分包含周期边值问题正解的存在性,其中q ∈ C（[0,2π],[0,∞）)为2π-周期函数,且q（t）（?）0,t ∈[0,2π],F:[0,2π]×R→2R（?）是一个多值映射.当非线性项F为单值时,该问题退化为Graef等人[Appl.Math.Lett.,2008]所研究的问题,故所得结果补充了他们的工作2.考虑微分包含问题正解集的全局结构,其中ρ>0为常数,F:[0,2π]×R→2R（?）是一个多值映射.本节首先通过Rabinowitz全局分歧定理获得了从简单特征值处产生的正解连通分支.然后,借助同伦的思想和微分包含的分歧理论确定了正解连通分支的走向.最后证明了连通分支是无界的.3.运用分歧理论建立了带Dirichlet边界条件的二阶微分包含问题的结点解,其中非线性项F在u=0处不连续,k∈ C1（[0,1],（0,∞））,g ∈ C（[0,1]×R,R）.本节克服的主要困难是,非线性项F在u=0处不连续,导致微分算子不能转化为等价的积分算子,且不能直接运用分歧定理.因此我们构造了辅助问题,用函数族{fl}l∈N来逼近F.然后对相应的辅助问题运用Krein-Rutman定理,对每个固定的z,获得了两列解的无界连通分支Cn,l±.最后运用Ma等人[Nonlinear.Anal.,2009]连通分支取极限的方法得到了该问题解的无界连通分支Cn±.该部分考虑的问题与Ma等人[Nonlinear.Anal.,2004]所研究的工作相比,允许非线性项有间断点,因此这一部分考虑的问题更加广泛.
杨晓梅[5]（2021）在《一类二阶差分方程Neumann边值问题解的存在性与多解性》文中进行了进一步梳理基于差分方程Neumann边值问题重要的研究背景及现状分析,本文主要讨论以下三类差分方程Neumann边值问题（正）解的存在性与多解性:首先,运用锥上的不动点定理获得了变系数半正二阶差分方程Neumann边值问题正解的存在性和多解性,其中f:[1,T]Z ×[0,+∞)→M,+∞)连续,[1,T]z:={1,2,…,T},M>0为常数.其次,运用上下解方法和拓扑度理论获得了二阶差分方程Neumann边值问题解的个数与参数s的关系,其中s ∈ R,[1,T]Z × R→R连续.最后,运用Leray-Schauder原理研究障碍带条件下二阶差分方程Neumann共振边值问题解的存在性,其中e:[1,T]Z → R,f:[1,T]Z × R2→R连续.
邹玉梅[6]（2019）在《几类非线性微分系统解的存在性和唯一性》文中提出自然界中系统是一种普遍的存在,任何事物和过程都可以看作组织性程度不同的系统.系统科学是以复杂系统为研究对象,研究系统内部或系统间的结构、性质、演化和规律,揭示复杂系统的共性及演化过程中所遵循的共同规律.微分方程是描述系统的重要工具,已广泛用于不同的复杂系统建模,其解的存在性和唯一性一直受到高度重视.通过分析相应微分方程解的各种特性,能够对所研究的系统获得某些定性和定量的认识,能够揭示系统结构、参数与性能特性间的内在联系.20世纪80年代以后,非线性科学和复杂性研究的兴起使得非线性问题迅速成为国际上科学研究的前沿和热点,对非线性泛函分析新方法及其应用的探讨,无疑具有重要的理论意义和应用价值.因此,利用非线性泛函分析对微分方程边值问题解的研究具有非常重要的理论和实践意义.本文研究了几类微分方程边值问题的解,主要研究工作如下:—、几类非线性微分方程边值问题正解的存在性（1）研究了非线性二阶微分方程奇异积分边值问题正解的存在唯一性.提出并证明了Riemann-Stielties积分边值问题的极值原理;验证边值问题属于正锥的任何解的范数都存在正的上下界;将极值原理结合上下解和Schauder不动点理论,在一定假设条件下,建立并证明了Riemann-Stielties积分边值问题正解的存在唯一性定理.（2）研究了具有完全形式的非线性四阶微分方程边值问题正解的存在性.首次给出具有完全形式的四阶微分方程的边值问题的降阶形式,提出并证明了降阶微分方程对应齐次线性方程线性算子的谱理论;将所建立的谱理论与不动点指数结合,当非线性项次线性增长时,本文给出并证明了正解的一个存在性定理,该定理结论是最优的.当非线性项超线性增长时,本文仅考虑包含一阶导数时,利用对应齐次线性方程的谱理论及不动点指数定理,在特定的正锥上得到并证明了解存在性定理且结论是最优的.（3）研究了含有p-Laplacian非线性四阶微分方程边值问题正解的存在性.研究了非线性p-Laplacian四阶微分方程的特征值问题,证明了该齐次算子在锥上存在唯一的正就范特征向量;利用齐次算子对应的第一特征值与不动点指数理论,给出并证明了非线性项在超线性和次线性增长情形下非线性p-Laplacian四阶微分方程正解的存在性,且两种情形下结论都是最优的.二、非线性分数阶微分方程边值问题解的存在性.（1）研究了一类非线性分数阶微分方程边值问题解的存在唯一性.构造了一个新的Banach空间Ce[0,1],在该空间里研究分数阶奇异微分方程的边值问题的唯一解.在分数阶奇异微分方程的非线性函数满足广义Lipschitz条件下,利用Banach压缩映像原理和e-范数得到并证明了分数阶奇异微分方程的边值问题的唯一解定理.该结论适用范围更广且非线性函数所需满足广义Lipschitz条件更易验证.（2）研究了在共振条件下非线性分数阶微分方程积分边值问题解的存在性.将问题转化成抽象算子方程Lx=Nx,证明了算子L是一个指标为零的Fredholm算子;在一定假设条件下,基于Mawhin迭合度理论建立并证明了分数阶微分方程积分边值问题解的存在性定理.三、非线性微分系统耦合积分边值问题解的存在性和唯一性（1）研究了含有导数项的非线性二阶微分系统耦合边值问题解的存在性.提出了非线性含有导数项的二阶微分系统耦合边值问题上-下解和下-上解的定义,利用上-下解和下-上解构造了修正的边值问题;在非线性项满足Nagumo条件下给出并证明了微分系统边值问题解的存在性定理.（2）研究了非线性二阶微分系统耦合边值问题极解的存在性.提出并证明了二阶微分系统耦合边值问题的比较原则;利用Fredholm定理证明了二阶线性微分系统耦合边值问题解的存在性;利用所建立的比较原则和线性方程的存在唯一性定理,在非线性项满足单边Lipschitz条件下,应用单调迭代方法得到并证明了非线性二阶微分系统耦合边值问题极解的存在.四、在乘积空间上研究非线性算子的不动点定理.在乘积空间上,为了建立适用范围更广的不动点定理,本文借助正-1齐次算子和乘积锥上的不动点指数定理,在非线性算子方程组的非线性项存在正1-齐次的强函数和弱函数的条件下,建立并证明了非线性算子方程组一个新的不动点定理.将所建立的不动点定理应用到（p1,p2）-Laplacian微分系统,得到该系统边值问题正解的存在性定理,且该定理允许非线性项具有不同的增长条件.
邱廷柱[7]（2019）在《一维非线性边值问题有限元p型超收敛算法研究》文中提出有限元法是求解微分方程比较有效的数值计算方法,其具有数值稳定性好、通用性强、适用性广等特点。有限元求解精度依赖于网格和单元阶次,通常情况下有限元计算网格越密,单元次数越高,有限元解的精度就越高,为了获得较高精度的有限元解答,传统有限元求解就需要加密单元网格或者提高单元阶次,这相应地导致了有限元求解计算量的快速增加,由此产生的计算代价是十分巨大的。为了解决有限元求解精度与计算代价之间的矛盾,有限元超收敛计算成了有限元研究领域的重点和热点。理论和数值结果表明,有限元单元端部结点解相对于单元内部解具有更高的精度和收敛阶,即有限元解答中的单元端部结点解具有超收敛特性。对于一维非线性问题,有限元结点解答的超收敛特性也是存在的,本文将基于有限元解答中结点解的超收敛特性,建立一维非线性有限元p型超收敛算法。全文的主要工作如下:一、对一维非线性有限元提出了p型超收敛求解策略。非线性有限元求解统一采用Newton法进行迭代求解,推导了相应的Newton迭代格式。将线性问题p型超收敛计算的思想推广应用于求解非线性问题,将单元端部的有限元解答作为单元的边界条件,利用已求得的有限元解,借助泰勒展开技术对原非线性问题进行线性化,在单个单元上建立单元解近似满足的线性常微分方程边值问题（BVP）,对该局部线性边值问题采用单个高次元进行有限元求解以获得该单元上的超收敛解,对每个单元实施上述过程可获得全域的超收敛解。二、将该策略成功应用于求解四类模型问题。具体包括二阶非线性常微分方程边值问题、四阶非线性常微分方程边值问题、一阶非线性常微分方程组问题、非线性混合阶常微分方程组边值问题,推导了各模型问题的具体格式并成功进行了算法实现（Fortran程序和Maple程序）。三、对四类模型问题进行了大量的数值试验,总结了算法的收敛规律。求解了大量经典问题,对每个问题的有限元解和超收敛解答的收敛阶进行了分析,总结了超收敛解的收敛规律。数值结果表明,本文的超收敛求解方法简单高效,是一个颇具潜力的方法。另外,本文还对非线性边界条件进行了试探性的研究,提出了一套简单高效的非线性边界条件处理办法。最后,对本文工作进行了总结和展望。
吴健[8]（2019）在《临界点理论在二阶脉冲微分方程（系统）边值问题中的应用》文中研究指明本硕士学位论文主要研究三类二阶脉冲微分方程（系统）边值问题解的存在性和多解性.应用变分法和临界点理论对不同的脉冲微分方程进行了不同的变分构建,获得所研究问题至少存在一个（弱）解、多个（弱）解以及无穷多个（弱）解存在性的充分条件.全文由5章组成.绪论简述脉冲微分方程（系统）的研究背景、现状和趋势,介绍研究过程中需要用到的非线性泛函分析、变分法和临界点理论有关知识.并说明用变分法研究脉冲微分方程（系统）的优势以及本文的主要研究工作.第1章研究一类带参数的二阶非线性脉冲微分方程边值问题.利用变分法和临界点理论,得到该问题至少存在一个弱解、至少存在三个弱解的充分条件.拓展了相关问题的研究结果.第2章研究一类二阶非瞬时脉冲微分方程边值问题.利用山路定理等临界点理论,讨论该问题解的存在性和多解性,得到至少存在两个弱解、存在无穷多个弱解的结论.我们得到的结论是全新的.第3章研究一类二阶脉冲微分方程系统边值问题.通过临界点理论得到该问题存在唯一解、至少存在一个解和无穷多个解的存在性结果.拓展了该类问题解的存在性研究结果.第4章为结论与展望,总结本学位论文的内容,并对未来的研究方向作了展望.
张珺婷[9]（2019）在《几类微分方程边值问题非平凡解的存在性》文中研究说明微分方程边值问题是微分方程理论的一个重要分支,在自然科学和工程技术等研究方面得到了广泛应用。非线性泛函分析作为现代数学的一个重要的研究分支,在许多领域中有着重要作用,利用非线性泛函分析中的拓扑度理论来研究微分方程边值问题,这一课题一直具有持久生命力。微分方程多点边值问题一直受到很多关注,其中解的存在性、唯一性、多重性问题仍是当今热门的研究对象。所以,本文在已有的理论基础上,继续利用不动点定理,结合Green函数的性质,进一步对四阶常微分方程边值问题、二阶多点常微分方程多点边值问题、带有参数的分数阶微分方程组进行了讨论和研究。本文分为四章,主要内容有:第一章绪论,简单介绍了微分方程边值问题的研究背景和本文的主要研究内容。第二章根据格结构下的不动点定理,研究了四阶常微分方程边值问题。本章通过证明非线性算子是全连续的、拟可加的,假设在次线性、渐近线性、超线性条件下,分别进行了讨论并给出了具体应用,其中在次线性条件下,得出微分方程边值问题至少存在三个非零解,其中一个正解、一个负解和一个变号解;在渐近线性条件下,利用算子的有界性,得到微分方程边值问题至少存在一个非零解,另一种情况下至少存在三个非零解;在超线性条件下,根据Krein-Rutmann定理和算子满足H条件进行了讨论,得到了非零解的存在性。第三章利用不动点定理,对一类二阶常微分方程多点边值问题进行了研究。本章通过证明相应的非线性算子在某一区域内e-连续,并结合格林函数的性质,得出了此类微分方程至少存在两个正解、两个负解和一个变号解,并给出了应用。第四章研究了一类具有两个参数的分数阶微分方程组正解的存在性。本章采用适型分数阶导数的定义,利用锥拉伸与压缩不动点定理,得出正解的存在性。
秦培歌[10]（2019）在《具变号权函数的二阶微分系统的可解性》文中指出本硕士论文主要根据Banach空间中的锥理论并结合Guo-Krasnosel′skii不动点定理、不动点指数定理以及不动点指数的性质等理论,讨论了三类含不定权函数的二阶微分系统正解的存在性以及多解性。全文共分为五章,具体如下:第1章介绍了二阶微分系统、p-Laplacian脉冲微分系统和权函数变号的微分系统的研究背景和发展现状,并概述本硕士论文研究的主要工作,并在最后一节中给出本硕士论文主要用到的定义、定理等基础知识。第2章研究了一类权函数变号的n维二阶微分系统正解的存在性。依据锥上的Guo-Krasnosel′skii不动点定理,结合系统中的权函数变号的特点,得到当非线性项满足适当条件时,该n维系统至少存在一个正解的结论。第3章讨论了一类含不定权函数的多参数二阶微分系统多个正解的存在性。根据积分区间的有限可加性,结合变号权函数的特点,克服了系统中由于线性项的增加导致参数取值的困难。按照两个参数λμ,不同的取值,运用锥不动点指数理论,得到该类题目分别有两个正解和三个正解的结论。最后,该章还给出两个例子检验了主要结果的正确性。第4章考察了一类带p-Laplace算子和变号权函数的脉冲微分系统两个正解的存在性。通过构造合适的范数和锥,结合p-Laplace算子的性质,利用范数形式的锥拉伸与锥压缩不动点定理,得到存在两个正解时参数的最优区间。最后,给出一个算例用来说明定理条件的合理性。在第5章中,主要对本硕士论文所获得的结论进行概述,对研究问题的难点以及创新点做了总结,并对接下来的研究工作进行展望。
二、Second Boundary Value Problems for 2n-th Order Nonlinear Differential Equations（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、Second Boundary Value Problems for 2n-th Order Nonlinear Differential Equations（论文提纲范文）
（1）若干三阶微分方程边值问题解的存在性与多解性（论文提纲范文）
| 致谢 |
| 摘要 |
| abstract |
| 变量注释表 |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 2 两类三阶微分方程非线性三点边值问题解存在性 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 基本定义和引理 |
| 2.3 主要结果 |
| 2.4 应用举例 |
| 3 两类非线性三阶三点边值问题正解存在性与多解性 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 预备引理 |
| 3.3 主要结果 |
| 3.4 应用举例 |
| 4 一类三阶线性非齐次差分方程Hyers-Ulam稳定性 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 定义与引理 |
| 4.3 主要结果 |
| 5 结论 |
| 参考文献 |
| 作者简历 |
| 学位论文数据集 |
（2）几类非线性偏微分方程的高精度有限差分格式研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 本文的主要工作 |
| 1.3 相关记号和引理 |
| 第2章 广义Rosenau-Kd V方程的高精度守恒差分格式 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 差分格式的构造 |
| 2.3 差分格式的守恒性和解的有界性 |
| 2.4 差分格式的可解性 |
| 2.5 差分格式的收敛性和稳定性 |
| 2.6 数值实验 |
| 2.7 本章小结 |
| 第3章 耗散广义对称正则长波方程的高精度耗散差分格式 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 解的性质 |
| 3.3 两层非线性耦合高精度耗散差分格式 |
| 3.3.1 差分格式的构造 |
| 3.3.2 差分格式的能量耗散性和解有界性 |
| 3.3.3 差分格式的解的存在性 |
| 3.3.4 差分格式的收敛性、稳定性和解的唯一性 |
| 3.3.5 迭代算法 |
| 3.4 三层线性解耦高精度耗散差分格式 |
| 3.4.1 差分格式的构造 |
| 3.4.2 差分格式的能量耗散性和解有界性 |
| 3.4.3 差分格式的可解性 |
| 3.4.4 差分格式的收敛性和稳定性 |
| 3.5 数值实验 |
| 3.6 本章小结 |
| 第4章 对称正则长波方程的高精度紧致守恒差分格式 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 差分格式的构造与守恒性 |
| 4.3 差分格式的先验估计和可解性 |
| 4.4 差分格式的收敛性和稳定性 |
| 4.5 数值实验 |
| 4.6 本章小结 |
| 第5章 非线性耦合Schr?dinger方程的高精度守恒差分格式 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 差分格式的构造 |
| 5.3 差分格式的守恒性和解的有界性 |
| 5.4 差分格式解的存在性 |
| 5.5 差分格式的收敛性、稳定性和解的唯一性 |
| 5.6 迭代算法 |
| 5.7 数值实验 |
| 5.8 本章小结 |
| 第6章 前景与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间承担的科研任务和主要成果 |
（3）分数阶微分方程的高精度高效算法（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 绪论 |
| §1.1 分数阶微积分简介 |
| §1.2 本文主要内容 |
| 第二章 基于Caputo-Fabrizio导数的分数阶Cattaneo方程的快速紧致有限差分方法 |
| §2.1 引言 |
| §2.2 一维分数阶Cattaneo方程的紧致有限差分方法 |
| §2.2.1 离散问题 |
| §2.2.2 稳定性分析 |
| §2.2.3 误差估计 |
| §2.3 二维分数阶Cattaneo方程的紧致有限差分方法 |
| §2.3.1 离散问题 |
| §2.3.2 稳定性分析和误差估计 |
| §2.4 Caputo-Fabrizio分数阶导数的高效存储和快速计算 |
| §2.5 数值算例 |
| §2.6 本章小结 |
| 第三章 基于Caputo-Fabrizio导数的时间分布阶偏微分方程的两种无条件稳定方法 |
| §3.1 引言 |
| §3.2 离散问题 |
| §3.2.1 空间和分布阶的二阶方法 |
| §3.2.1.1 稳定性分析 |
| §3.2.1.2 误差估计 |
| §3.2.2 空间和分布阶的四阶方法 |
| §3.2.2.1 稳定性分析 |
| §3.2.2.2 误差估计 |
| §3.3 数值算例 |
| §3.4 本章小结 |
| 第四章 分数阶微分方程在非均匀网格上的有限差分方法 |
| §4.1 引言 |
| §4.2 分数阶非线性常微分方程 |
| §4.2.1 离散问题 |
| §4.2.2 误差估计 |
| §4.2.3 数值算例 |
| §4.3 分数阶线性偏微分方程 |
| §4.3.1 误差估计 |
| §4.3.2 数值算例 |
| §4.4 本章小结 |
| 第五章 时间分数阶扩散问题在非均匀网格上的有限差分法 |
| §5.1 引言 |
| §5.2 离散问题 |
| §5.3 稳定性分析和误差估计 |
| §5.4 数值算例 |
| §5.5 本章小结 |
| 第六章 时间分数阶扩散方程在非均匀网格上的快速高阶方法 |
| §6.1 引言 |
| §6.2 离散问题 |
| §6.3 局部截断误差估计 |
| §6.4 降阶有限差分外推算法 |
| §6.5 数值算例 |
| §6.6 本章小结 |
| 第七章 分数阶对流扩散方程的快速有限差分/RBF无网格方法 |
| §7.1 引言 |
| §7.2 离散问题 |
| §7.2.1 半离散格式 |
| §7.2.2 RBF无网格形函数构造 |
| §7.2.3 全离散格式 |
| §7.3 RBF无网格降阶外推算法 |
| §7.4 数值算例 |
| §7.4.1 具有Dirichlet边界条件的矩形问题域 |
| §7.4.2 具有Dirichlet边界条件的L形问题域 |
| §7.4.3 具有Dirichlet边界条件的圆形问题域 |
| §7.4.4 具有Dirichlet和Neumann边界条件的矩形问题域 |
| §7.5 本章小结 |
| 第八章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间发表的论文 |
| 作者简介 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（4）两类二阶微分包含问题的可解性研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 主要工具及记号 |
| 第二章 一类二阶微分包含周期边值问题正解的存在性 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 预备知识 |
| 2.3 主要结果的证明 |
| 第三章 一类二阶微分包含周期边值问题正解集的全局结构 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 预备知识 |
| 3.3 主要结果的证明 |
| 第四章 带Dirichlet边界条件的二阶微分包含问题的结点解 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 预备知识 |
| 4.3 主要结果的证明 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 个人简历、在学期间发表的学术论文及研究成果 |
（5）一类二阶差分方程Neumann边值问题解的存在性与多解性（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 前言 |
| 第1节 一类变系数半正二阶差分方程Neumann边值问题正解的存在性与多解性 |
| 1.1 引言及预备知识 |
| 1.2 主要结果及其证明 |
| 第2节 二阶差分方程Neumann边值问题的Ambrosetti-Prodi型结果 |
| 2.1 引言及预备知识 |
| 2.2 主要结果及其证明 |
| 第3节 障碍带条件下二阶差分方程Neumann共振边值问题解的存在性 |
| 3.1 引言及预备知识 |
| 3.2 主要结果及其证明 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 个人简历、在学期间发表的学术论文及研究成果 |
（6）几类非线性微分系统解的存在性和唯一性（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 变量注释表 |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景及意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.3 主要研究内容及安排 |
| 1.4 论文主要创新点 |
| 2 非线性微分方程边值问题正解的存在性 |
| 2.1 非线性二阶微分方程积分边值问题正解的存在唯一性 |
| 2.2 具有完全形式的非线性四阶常微分方程边值问题的正解 |
| 2.3 含p-Laplacian算子的非线性微分方程边值问题的正解 |
| 3 非线性分数阶微分方程边值问题解的存在性和唯一性 |
| 3.1 一类分数阶微分方程边值问题的唯一解 |
| 3.2 共振条件下分数阶微分方程积分边值问题的解 |
| 4 非线性二阶微分系统的耦合积分边值问题 |
| 4.1 含一阶导数项的二阶微分系统耦合积分边值问题解的存在性 |
| 4.2 二阶微分系统耦合积分边值问题极解的存在性 |
| 5 乘积空间上非线性算子的不动点定理及其应用 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 非线性算子的不动点定理 |
| 5.3 (p_1,p_2)-Laplacian系统正解的存在性定理 |
| 6 总结与展望 |
| 6.1 论文主要研究工作总结 |
| 6.2 今后研究工作展望 |
| 参考文献 |
| 作者简历 |
| 致谢 |
| 学位论文数据集 |
（7）一维非线性边值问题有限元p型超收敛算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 选题背景 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.2.1 非线性边值问题数值求解研究现状 |
| 1.2.2 有限元超收敛研究现状 |
| 1.2.3 p型超收敛算法 |
| 1.3 本文的研究目的和内容 |
| 1.3.1 研究目的 |
| 1.3.2 研究内容 |
| 第2章 二阶非线性常微分方程边值问题 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 模型问题 |
| 2.3 有限元求解 |
| 2.3.1 网格划分 |
| 2.3.2 有限元插值 |
| 2.3.3 有限元方程建立 |
| 2.4 超收敛求解 |
| 2.5 误差估计 |
| 2.6 数值算例 |
| 2.7 本章总结 |
| 第3章 四阶非线性常微分方程边值问题 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 模型问题 |
| 3.3 有限元求解 |
| 3.3.1 网格划分 |
| 3.3.2 形函数选取 |
| 3.3.3 有限元方程建立 |
| 3.4 超收敛求解 |
| 3.5 误差分析 |
| 3.6 Euler梁几何非线性问题 |
| 3.6.1 几何方程 |
| 3.6.2 物理方程 |
| 3.6.3 平衡方程 |
| 3.6.4 控制微分方程 |
| 3.7 数值算例 |
| 3.8 小结 |
| 第4章 一阶非线性常微分方程组问题 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 模型问题 |
| 4.3 有限元计算 |
| 4.3.1 单元划分 |
| 4.3.2 有限元插值 |
| 4.3.3 有限元方程建立 |
| 4.3.4 边界条件处理 |
| 4.3.5 有限元解误差 |
| 4.4 超收敛计算 |
| 4.5 超收敛解误差 |
| 4.6 Timoshenko梁几何非线性问题 |
| 4.6.1 几何方程 |
| 4.6.2 物理方程 |
| 4.6.3 平衡方程 |
| 4.6.4 控制微分方程 |
| 4.7 数值算例 |
| 4.8 小结 |
| 第5章 非线性混合阶常微分方程组边值问题 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 模型问题 |
| 5.3 有限元求解 |
| 5.3.1 单元划分 |
| 5.3.2 形函数选取 |
| 5.3.3 有限元方程建立 |
| 5.4 超收敛求解 |
| 5.5 误差估计 |
| 5.6 数值算例 |
| 5.7 小结 |
| 第6章 总结与展望 |
| 6.1 本文工作总结 |
| 6.2 工作展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果 |
（8）临界点理论在二阶脉冲微分方程（系统）边值问题中的应用（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| Abstract |
| 绪论 |
| 0.1 脉冲微分方程研究背景及现状与趋势 |
| 0.2 预备知识 |
| 0.3 变分法的优势 |
| 0.4 本文的研究工作 |
| 第1章 一类带参数的二阶非线性脉冲微分方程边值问题 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 变分构建及主要引理 |
| 1.3 解的存在性及多解性 |
| 第2章 一类二阶非瞬时脉冲微分方程边值问题 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 变分构建及主要引理 |
| 2.3 解的存在性及多解性 |
| 第3章 一类二阶脉冲微分方程系统边值问题 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 变分构建及主要引理 |
| 3.3 解的存在性及多解性 |
| 第4章 结论与展望 |
| 4.1 结论 |
| 4.2 展望 |
| 参考文献 |
| 攻读学位期间承担的科研任务与主要成果 |
| 致谢 |
| 个人简历 |
（9）几类微分方程边值问题非平凡解的存在性（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 主要内容 |
| 2 四阶常微分方程边值问题解的存在性 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 预备知识 |
| 2.3 次线性条件下解的存在性 |
| 2.4 渐近线性条件下解的存在性 |
| 2.5 超线性条件下解的存在性 |
| 2.6 带有参数的四阶微分方程边值问题的正解 |
| 3 二阶常微分方程多点边值问题解的存在性 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 预备知识 |
| 3.3 主要结论 |
| 3.4 应用 |
| 3.5 其他二阶多点边值问题 |
| 4 具有两个参数的分数阶微分方程组正解的存在性 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 预备知识 |
| 4.3 主要结论 |
| 参考文献 |
| 作者简历 |
| 致谢 |
| 学位论文数据集 |
（10）具变号权函数的二阶微分系统的可解性（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 课题的研究背景和意义 |
| 1.2 国内外研究现状 |
| 1.3 主要研究内容 |
| 1.4 基本概念和理论基础 |
| 第2章 具变号权函数的n维二阶微分系统正解的存在性 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 预备知识 |
| 2.3 主要结论 |
| 第3章 含不定权函数的多参数二阶微分系统多个正解的存在性 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 预备知识 |
| 3.3 主要结论 |
| 3.4 应用 |
| 第4章 带p-Laplace算子和不定权函数的脉冲微分系统的正解 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 预备知识 |
| 4.3 主要结论 |
| 4.4 应用 |
| 第5章 结论与展望 |
| 5.1 结论 |
| 5.2 展望 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 个人简历 |
| 攻读硕士学位期间发表的论文及其它成果 |
四、Second Boundary Value Problems for 2n-th Order Nonlinear Differential Equations（论文参考文献）
- [1]若干三阶微分方程边值问题解的存在性与多解性[D]. 邵亨武. 中国矿业大学, 2021
- [2]几类非线性偏微分方程的高精度有限差分格式研究[D]. 何育宇. 闽南师范大学, 2021(12)
- [3]分数阶微分方程的高精度高效算法[D]. 乔海丽. 山东大学, 2021(10)
- [4]两类二阶微分包含问题的可解性研究[D]. 贾凯军. 西北师范大学, 2021(12)
- [5]一类二阶差分方程Neumann边值问题解的存在性与多解性[D]. 杨晓梅. 西北师范大学, 2021(12)
- [6]几类非线性微分系统解的存在性和唯一性[D]. 邹玉梅. 山东科技大学, 2019(06)
- [7]一维非线性边值问题有限元p型超收敛算法研究[D]. 邱廷柱. 清华大学, 2019(02)
- [8]临界点理论在二阶脉冲微分方程（系统）边值问题中的应用[D]. 吴健. 福建师范大学, 2019(12)
- [9]几类微分方程边值问题非平凡解的存在性[D]. 张珺婷. 山东科技大学, 2019(05)
- [10]具变号权函数的二阶微分系统的可解性[D]. 秦培歌. 北京信息科技大学, 2019(09)