严俊明福建省龙海市机关干校
【摘要】本文阐述了笔者在数学思想的指导下发现“‘SSA’也可以作为三角形判定定理”的过程，并提出了“数学思想”的获得依赖于老师的指导和学生自己的参悟，并对数学思想在教学中的作用做了初步的探讨。
【关键词】数学思想SSA三角形全等的判定定理
【中图分类号】G632【文献标识码】A
【文章编号】1674－4810（2010）07－0120－02
在目前的数学教学中，大多数学生对数学学习普遍感到困难。因此，当前新课程改革的浪潮中涌现出许许多多的弄潮儿，他们勇于探索、实践，并总结出不少经验，但也存在着不少貌似活跃，实则无助于启发引导学生领会数学思想的现象。其实，数学与其他学科一样，在其发展过程中，形成了一套行之有效的思想体系，笔者认为最根本的问题是抓住数学的灵魂——数学思想。为此，笔者就数学思想在教学中的体会谈几点自己的看法。
一教学中应充分重视数学思想的教学
数学思想也就是数学的基本观点，是对数学概念、数学方法、数学发现的本质的认识。从某种意义上来说，数学思想是隐性的，而数学方法是显性的。我国古代教育家孔子提出的“举一反三”，其所蕴含的思想就像数学思想中的归纳思想或类比思想。而我们俗话常说“只可意会，不可言传”中的只可意会的“信息”或不可意会的“信息”就像是数学思想中的隐性的特征。
数学思想还有另外一个重要的特征是连续性。连续性不仅存在于学生学习过程中的过去、现在和将来，甚至会伴随人的一生，促成人们形成意识，融入血液，铸入灵魂。
数学基础知识、基本思想和基本方法是数学能力的根本，掌握基本知识、领会数学思想、运用基本方法是培养数学能力的必要手段和途径。然而数学思想则必须充分发挥教师的启发诱导和学生的积极归纳、类比而共同完成。
而对于“数学思想的领会则必须经教师启发诱导和学生自己的类比、归纳共同完成”这一观点，不仅得到了许多世界著名科学家的赞同，也验证了宋代教育家朱熹的教育观点。数学家、天文学家开普勒曾说过：“我珍惜类比胜过任何别的东西，它是我最信赖的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中它是最不容易忽视的。”大数学家拉普拉斯也指出：“甚至在数学里，发现真理的主要工具是归纳和类比。”宋代教育家朱熹也说过：“读书是自家读书，为学是自家为学，不干别人一线事，别人助自家不得。”当然，朱熹也认为教师是一个引路人，“指引者，师之功也。”这也阐述了启发诱导应该是教师的职责和功绩，而类比、归纳应该是学生自己主动积极来参悟。
二类比诞生出“SSA”三角形判定定理
首先，谈一谈“哈密尔顿发现四元数”对我的启示。哈密尔顿是如何发现四元数的呢？在1830年左右，复数理论已经建立，并有了它的直观形式二维复平面。人们追求着建立三维复数，哈密尔顿也从事这一研究。他善于利用类比思想。他想，一个复数可以表示二维空间的向量，那么为了表示空间（三维的）中的向量就应有“三维复数”，但是用机械的类比方法他失败了，因为这样定义的新数不具有实数复数的基本性质，而扩张数域必须具备这个条件。于是他试探着削弱要求的条件：一方面使新数包含四个分量，另一方面，他牺牲了乘法交换律，结果他获得了成功。这是数学思想发挥作用的有力事例，它对我的启示非常大。
其次，谈一谈我是怎样发现“‘SSA’也可以作为三角形判定定理”的。我们都知道三角形的判定定理共有五种，其中四种是对于一般三角形而言的，而“HL”是对直角三角形而言的。前四种都含有三个条件，而“HL”实际上也蕴涵着三个条件，其中直角是一个隐性的条件，实际上，“HL”就是“SSA”的一种特殊情况，也就是当∠A＝90°时的特例。
定理：如果有两边和其中不是较小的边所对的角也相等，那么这两个三角形全等。
我在教学过程中发现三角形全等的判定定理应该补充“SSA”，使得数学更能体现出其美的真谛。虽然对于一般的三角形而言，“SSA”是不成立的，但是，如果附加一些条件，它就可以成为一个判定定理。因此，我再次建议今后的编书者把它也作为一个判定定理编进书中。理由有三点：
1．附加条件，它就可以成立
SSA：如果有两边和其中不是较小的边所对的角也相等，那么这两个三角形全等。
已知：在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，AB≥AC，∠C＝∠C′。
求证：△ABC≌△A′B′C′
证明：（1）若AB＝AC（见图1），则△ABC和△A′B′C′都是等腰三角形，因此，由“AAS”可得命题成立。
图1
（2）若AB＞AC，且若∠C＜90°（见图2），分别作辅助线AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，点D和点D′分别为垂足，则由“HL”可证得Rt△ACD≌Rt△A′C′D′，因此，AD＝A′D′，又因AB＝A′B′，再根据“HL”，所以Rt△ABD≌Rt△A′B′D′，因此，∠B＝∠B′，再由“AAS”可得命题成立。
图2
（3）若AB＞AC，且若∠C＞90°（见图3），分别作辅助线AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，点D和点D′分别为垂足，则由“HL”可证得Rt△ACD≌Rt△A′C′D′，因此，AD＝A′D′，又因AB＝A′B′，再根据“HL”，所以Rt△ABD≌Rt△A′B′D′，因此，∠B＝∠B′，再由“AAS”可得命题成立。
图3
（4）若AB＞AC（见图4），若∠C＝90°，则由“HL”可得命题成立。
图4
2．促使判定定理的家庭成员更加和谐
因为“ASA”和“SAS”具有对称美，所以“AAS”也应该和“SSA”具有同样的对称美。这也与古希腊数学名家亚里士多德的观点一致：“那些宣称数学科学无美可言的人是错误的，（数学）美的主要形式是有序、匀称与明确。”
3．能够培养学生思维的严密性
因为通常三角形的判定都是直接套用条件，而“SSA”则需要分析条件，这样有助于学生养成严密的思维品质，况且“HL”判定定理是它的一个特例，学生也容易理解。总之，纵观数学的发展史，大多数都是以特例推广到一般，把研究的范围不断地扩大，我们若能把“HL”归入“SSA”的范围之中，更能体现数学的发展规律。因为整个“全等”也是“相似”的一种特例，“相似”也可以说是“全等”的推广。
参考文献
［1］吴炯圻、林培榕.数学思想方法［M］.厦门：厦门大学出版社，2001.6
［2］杨庆余、俞耀明、孔企平.现代数学思想方法［M］.贵阳：贵州人民出版社，1997.3
［3］严俊明.“SSA”也可以作为三角形判定定理［M］.中华教师论文选萃.北京：中央民族大学出版社，2004.9：8～9
［4］夏欣.中小学数学教育该怎样引导——采访著名数学家中科院院士杨乐［J］.班主任，2004（5）：12～13