浙江省衢州市第二中学傅建红
一、标答
二、分析
这是一道典型的以考查椭圆的定义、标准方程及几何性质、直线方程、两点间距离公式等基础知识的综合问题，题目围绕坐标法及曲线与方程的关系，渗透数形结合、转化与化归思想，以学生熟悉的焦点三角形、焦半径为背景设计问题，所用知识简单基础，但构思角度新颖独特，体现了高考数学命题的“低起点，高立意”特点。但从上述标答的解答过程来看，笔者认为，其转化手段似乎过于“直接”，不够灵活，导致运算繁琐，过程冗长，多数学生难以“忍受”。对于解析几何问题，学生多少会有一些思路，但为何结果常常还是以失败告终？笔者认为，根本原因是未能找到合理、便捷的将“几何问题代数化”的转化途径，导致学生“误入歧途”（非优转化），深陷繁琐运算的“泥潭”，其结果自然也就可想而知。因此，能否找到合理的转化手段对解题的成败至关重要。标答在求AF1与BF2时采用了求根公式以及两点之间距离公式，“既设又求”，虽为通法，但计算量大，耗时多（要解两个方程，求两次距离），这在考试之中显非上策。如何转化才能简化运算？笔者通过探究，获得了三种相对简单一些的思路。首先，对于(i)，根据已知条件（AF1平行于BF2）以及椭圆的对称性，察觉到B、D两点实际关于原点对称（因为易证ABCD为平行四边形），即有BF2=DF1，这样一来，问题就转化成两条共线焦半径的差，此时，只需运用焦半径公式，结合“设而不求”思想，问题即可轻松解决。而对于(ii)，由所证的结论（PF1+PF2为定值）可知，P点的轨迹应该是以F1，F2为焦点的椭圆，因此，从求P点轨迹的角度切入思考，似乎更加符合逻辑顺序，学生也更加容易想到；其次，我们知道，对于解决焦点弦、焦半径等线段的长度问题，极坐标和参数方程具有得天独厚、与生俱来的优势，因此，本题以它们为工具进行探究，再结合图形的几何性质，可使问题快速获解。
三、简解
四、推广
参考文献：
[1]傅建红圆锥曲线一共线焦半径性质的发现、引申和应用2012，（9）；
[2]刘美萍巧用圆锥曲线统一极坐标方程解决过焦点弦的问题高中数理化2012，（5）.