湖南省长沙市第一中学湖南长沙410005
摘要：数学归纳法属于数学学习中的常用方式，对于我们的数学学习有着极大的帮助，也是高等数学学习的基础。本文主要针对数学归纳法的产生、应用原理以及拓展应用进行分析。
关键词：数学学习；归纳法；拓展
数学归纳法是高中数学学习的重要方式，是数学中证明n相关命题的工具，利用数学归纳法来做证明题可以达到理想的效果，很多同学在学习时，都忽略了归纳法的作用，只重视解题结果，不注重归纳的过程，要学好数学，既要知其然，也要知其所以然。
1数学归纳法的产生
数学归纳法可以证明与自然数相关的问题，其归纳推理的产生最早可以追溯到公元前6世纪，由毕达哥拉斯提出，这只是数学归纳法的产生雏形，到了公元前3世纪，欧几里得在《几何原本》中明确了归纳法的概念与应用。在16世纪，莫罗利科针对自然数命题进行了检验，逐步替代了传统的检验方式，并在《算术》中提出了关于“递归推理”的方法。B?帕斯卡深受这种思想的影响，利用“递归推理”的方法成功证明了“帕斯卡三角形”。
虽然数学归纳法的应用已经有多年的历史，但是其逻辑基础一直都没有得到明确，在1889年，皮亚诺将“后继”看做不加定义基本关系，列举了其基本性质，自此之后，数学归纳法拥有了逻辑基础。
2数学归纳法的应用原理
数学归纳法与经验归纳法是相对应的，经验归纳法是从现象的观察出发，归纳出这一现象中的一般规律，数学归纳法则与之相反，可以用来证明无限序列以及其他数学定理的正确性。其原理为：假定希望证明无限个数命题A1、A2、A3...，那么其合起来构成的命题A如果满足两项条件：
（1）利用某项数学结论可以证实，对于任何一个整数b，如果Ab为真，那么Ab+1也为真；
（2）已知命题A1为真，那么序列中的所有命题均为真，即可得证A。
在数学学科中，数学归纳法是完全不同于传统经验归纳法的一种证明方法，一项定律如果存在任意有限次，那么无论次数有多少，都没有意外。只要满足（1）、（2）两个条件，即可证明定理为真。
3数学归纳法的表现形式
归纳法包括完全归纳法与不完全归纳法两种形式，数学归纳法属于前者，可以分为超限数学归纳法与有限数学归纳法两种。我们常用的有两种：
（1）方法1，若性质P（n）在n=1时是成立的，且假如n=k时性质P（k）成立，也就可以得出，在n=k+1时，p（k+1）也是成立的，这样即可断定p（n）适合于一切的自然数；
（2）如果P（n）在n=1的条件下是成立的，且假设对于等于k或者小于k的自然数也成立，那么即可得出，n=k+1时，P（k+1）也是成立的，因此，P（n）对于任何自然数n，都是成立的。
4数学学习中归纳法的扩展分析
伊斯兰数学家已经针对归纳推理问题进行了深入的研究，在17世纪之后，数学归纳法有了全面的框架，在这一背景下，各类数学归纳法都得到了迅速的发展，如归纳跳跃台阶设施、起始命题证明等等，基于分析算术的发展需求，数的理论相关知识也得到了完善，在1889年C?皮亚诺的《算术原理新方法》中，就明确的提出了这一点。
当然，关于数学归纳法的应用，还存在一些疑虑，如假如k是任意存在的，那么如果将k替代k+1，便可以得出n=k+1的命题是成立的，那么又为什么要花功夫来证明呢？之所以产生这种疑惑，正是由于我们对于k的理解错误造成，事实上，k的任意性仅仅适用于归纳假设时，假设完成后就不能够任意的，k与k+1是两个不同的数字，k+1属于k的后继数，只有经过证明才能够看出其是否属于集合S，因此，必须要从k证明到k+1。
另一种疑虑是：对归纳步骤中的归纳假设感到迷惑，认为n=k时命题的成立既然是假设的，那么即使证出n=k+1时命题成立，似乎也没有什么实际意义，产生这一疑虑大致有两个原因：一是没有把奠基步骤和归纳步骤结合起来考察；二是对归纳步骤的证明目的认识模糊我们先来分析一下，究竟是否允许“假设当n=k时命题成立”？解答这个问题的关键是明确k的含义。这里的k是任意的，所有能够使命题成立的自然数都可以作为k。而且，这样的k是存在的。证明归纳步骤的目的，则在于确立递推的根据，使命题得以按奠基步骤所提供的初始根据，逐个进行递推，从而作出“命题对一切自然数都成立”的结论。
5结语
数学归纳法是高中数学学习中的重要方法，在数学中的作用与地位是无法比拟的，在日常学习中，我们需要挖掘数学归纳法的过程，这不仅可以帮助我们学好高中数学，还可以为后续高等数学的学习奠定好基础。
参考文献：
[1]陈苏琴.用生活体验解决数学问题——一节《一元一次不等式组的应用》补救课的教学案例与反思[J].数学学习与研究.2015(24)
[2]韩新生,姚璐.“动手”——数学问题中的实际操作[J].中小学数学(高中版).2013(10)
[3]蒋德慧,陈玮,郑丁丁.人教版与湘教版初中数学教材中数学文化内容编排比较研究[J].湖南教育(下).2010(11)
[4]徐晓芳,张维忠.基于数学文化的数学教学模式——以数学归纳法为例[J].中小学数学(高中版).2010(Z2)