杨帆（新疆乌鲁木齐市高级中学新疆乌鲁木齐830000）
摘要：乌鲁木齐地区2019年高三年级第二次质量监测文理科试卷第16题，将几何知识和代数知识有机结合，考查平面向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理、坐标运算、数量积及其应用。展示了“必备知识、关键能力、学科素养、核心价值”，一题多解，体现思维的灵活性。
关键词：乌鲁木齐；高三；第二次质量监测；平面向量
中图分类号：G623.24文献标识码：A文章编号：ISSN1001-2982（2019）08-80-02
《2019年高考文科、理科数学考试大纲》明确了2019年的高考的考核目标、考试范围与要求，继续坚持“一体四层四翼”的命题指导思想，注重顶层设计，继续贯彻“立德树人、服务选才、引导教学”这一基本理念，明确“必备知识、关键能力、学科素养、核心价值”[1]四层考查内容，强调“基础性、综合性、应用性、创新性”四个方面的考查要求，回答了高考“考什么”和“怎么考”的问题。
乌鲁木齐地区2019年高三年级第二次质量监测文理科试卷第16题，聚焦数学学科主干内容，突出关键能力的考查，强调逻辑推理等理性思维能力，重视数学应用，关注创新意识，题目新颖别致，设计精巧。它将几何知识和代数知识有机结合，考查平面向量的概念、线性运算、平面向量的基本定理、坐标运算、数量积及其应用。展示了“必备知识、关键能力、学科素养、核心价值”，一题多解，体现思维的灵活性。是一道难得的好题。
[乌鲁木齐地区2019年高三年级第二次质量监测文理科第16题]如图，在圆内接四边形中，已知对角线为圆的直径，，则的值为——————————————。
试题揭示了平面向量与平面几何的相互关系，使数和形有机结合，检测考生将平面向量知识迁移到代数情境和平面几何情境中的能力，体现了对知识的考查侧重于理解和应用的考查要求[2]。试题简明扼要，表述清晰，区别于以往的向量试题，有较好的几何意义和几何背景，注重考查本质，不落俗套。本题能有效考查考生对向量的理解和认识，有利于考查考生的思维能力，有利于不同层次考生的发挥。
一、解决向量问题，坐标法应当起引领作用
数学中用解析式表示函数或任意数学对象的方法叫解析法（坐标法）。[3]从2018年的高考数学试题可以看出，命题者依然坚守“重视通性通法，淡化技巧”，这为我们未来的备考指明了一个明确的方向：高考数学备考不宜过难过偏，要多从归纳解题通法的角度去进行教学备考。坐标法的思想促使人们运用各种解析式数值地解决几何问题。先前被看作（欧式）几何学中的难题，一旦运用解析几何之后就变得平淡无奇了。坐标法对近代数学的机械化证明也提供了有力的工具。[4]
解决向量问题，利用平面图形的垂直关系，可构造出垂直关系，建立平面直角坐标系，表示出相关点或向量的坐标，再利用平面向量的坐标运算求解相关问题。用坐标法解决问题是这一类问题的通性通法。要在复习中贯彻这一起引领作用方法。
解法一：以所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，由题意，在中，，∴，则，
设，则
∴
∴,
∴
解法一建系简单，但根据条件列方程组和解方程组还是有些难度，它涉及到距离公式和圆的方程建立，有较高的思维量和运算量。特别是一元二次方程的解法可以用求根公式法，韦达定理法，十字相乘法等。
解法二：以所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，由题意，设,则由圆的周角定理得，在中，，∴，于是
∵是等腰三角形，
∴
（也可以由余弦定理
）
由正弦定理得，从而
过作的垂线，易得，从而
∵，∴
本题考查平面向量的概念、平面向量的运算、平面向量的基本定理以及平面向量的几何意义等基本知识，考查数形结合的数学思想方法，同时也考查考生的逻辑思维能力和运算求解能力。解法二在建系的前提下，融合了正弦定理和余弦定理以及等腰三角形的相关知识，思维量大，综合性强，整合了解三角心的相关知识，对第17题考数列的试卷，它是一个绝好的选择。
二、解决平面向量数量积问题，数量积定义是首要思考
向量是研究数学和其他科学的有力工具。向量方法是解决数学问题的一类重要方法，在几何的研究中有很重要的作用，通过数形结合可以将几何问题和代数问题有机地结合在一起，既可以通过代数运算来得到几何中的位置关系和距离等，也可以通过几何直观验证代数运算的结果。平面向量的数量积运算的功能比较强大，不仅涉及到平面几何中平行与垂直的关系证明，解析几何中以向量数量积运算为背景的题目是高考的热点，还涉及到三角函数的运算。
解法三：设，类似解法二，
，
三、解决平面向量问题，平面向量基本定理是纽带
试题考查了向量的概念、向量的方向及长度、向量的代数运算、向量的几何意义等知识点，这些都是向量的基本内容。试题解题方法多种多样,考生可以利用向量的平面向量基本定理和代数运算求解，也可以建立直角坐标系通过解析法来求解，还可以数形结合和转换数学思想方法来解题，不同思维能力层次的考生可以通过不同的思路、利用不同的方法来解决问题。解题中选好一组基底，结合平行四边形法则与三角形法则，将所涉及向量利用基底表示，利用向量的垂直关系构造关式子，从而使问题得到解决。
解法四：基底法。同法二得，，
∵对角线为圆的直径，∴，
∴，
∴
解法四的关键是转化为具有垂直关系和共线关系的两个向量的数量积，使计算间接，特别是的转换，堪称神来之笔。
解法五：设圆的圆心为，如图，连接，，设,
则由圆的性质得,，
在中，∵，
∴
∵
∴
解法五的关键是找到两个向量的夹角，等腰三角形和圆的圆周角和圆心角的关系，二倍角的余弦公式，是求解夹角的关键。为已知模长的两个向量的数量积求解铺平了道路。
参考文献
[1]教育部考试中心.高考理科试题分析（语文、数学、英语分册）2019年版[J].高等教育出版社.2018.
[2]教育部考试中心.2019年高考数学考试大纲.[J].高等教育出版社.2018.
[3]南开大学数学系《空间几何引论》编写组.空间解析几何引论[J].1978.
[4]蒋珉．控制系统计算机仿真．北京：电子工业出版社，2012。