导读:本文包含了次线性数学期望论文开题报告文献综述及选题提纲参考文献，主要关键词:大数定律,负相依,独立,不同分布
次线性数学期望论文文献综述
孙敬波[1]（2018）在《次线性数学期望下大数定律的相关研究》一文中研究指出大数定律是概率论中重要的极限理论,在整个概率论的发展过程中,大数定律起到了非常关键的作用.大数定律的存在使概率论形成了较为完善的理论体系,并且有广泛的应用背景.传统概率论中的大数定律是建立在线性期望和可加概率的基础之上的.但是,在统计、金融、经济等领域存在很多不确定现象,这些不确定现象并不满足线性可加条件,因此经典概率论下的极限理论就无法合理地对其进行解释和预测.为了对这些不确定现象进行更好地建模,人们更多地去考虑非线性期望或非可加概率.为了更加合理地去刻画统计、金融、经济中的不确定现象,Peng(2007)首次提出了次线性期望的定义:得到了次线性期望下的大数定律和中心极限定理,进而形成了次线性期望理论框架.随后,有很多的研究者在此理论框架下对大数定律进行了一定的研究和推广.如Chen et al.(2013)证明了容度下独立同分布随机变量序列的强大数定律;Hu et al.(2016)证明了容度下独立不同分布随机变量序列的强大数定律;Zhang(2016)证明了容度下负相依同分布随机变量序列的强大数定律等.他们的工作更加丰富了次线性期望极限理论.本篇论文在已有结果的基础上进行了一定的推广.整篇论文共分为四章.第一章简单地介绍了大数定律的发展历程以及国内外的研究现状;第二章介绍了次线性期望理论中的基本定义和已有结果;第叁章给出了本篇论文的主要结果,我们在次线性期望理论框架下证明了负相依不同分布随机变量序列的强大数定律;第四章给出了一个具体的例子来说明我们证明的大数定律在现实中确实是有意义的.(本文来源于《曲阜师范大学》期刊2018-03-29）
陈静[2]（2014）在《次线性数学期望下的极限理论及其应用》一文中研究指出自从Choquet [13]提出容度概念后,人们对容度理论越来越感兴趣.因为在经济,统计学,工程学等领域有很多带有不确定性的问题,它们无法用传统的可加概率测度来准确预测或描述.现实中,概率可加性假设局限性明显,越来越多的人们开始舍弃可加概率这一传统工具,转而使用非可加(上,下)概率测度这一新兴工具来刻画带有不确定性的问题.事实上,早在1954年,Keynes[24]就发现了此类转变需求,从而创建了不确定概率理论.容度,这一非可加概率测度,就成为了刻画不确定性问题时一种十分合适的数学工具(参见Aug-ust in [1], Maccherroni和Marinacci [27], Doob [17], Schmeidler [33])鉴于金融数学和应用统计的广泛需求,非可加(上,下)概率/期望下随机变量的基本性质成为人们争相研究的学术热点.众所周知,大数定律(LLN)在概率论与数理统计的发展和应用中发挥了至关重要的奠基作用,与此同时,我们发现有关非可加容度/期望下(强)大数定律的研究成果十分丰富,主要分为两个学术流派：一个是非可加概率流派,其特征是用非可加(不确定的)概率来刻画非可加概率下随机变量的频率属性.另一个是非线性期望流派,其特征是用非可加(上,下)期望来刻画非可加期望下随机变量的频率属性.尽管这两个流派在经典线性概率理论下是等价的,他们在非线性框架下是完全不同的,因为一个非线性期望通常是不能被相应的非线性概率唯一确定的(参见Chen.Z, Chen.T和Davison [7]以及Choquet, Hu, Memin和Peng [12])非可加概率流派成果众多,比如早期经典文献Dow和Verlang [18]以及Walley和Fine [36],近期着名成果例如Cooman和Miranda [15], Epstein和Schneider [19], Marinacci [28], Mac-cheroni和Marinacci [27], Chen和Wu [10], Chen, Wu和Li [11]以及Terdn [34].在对非可加概率的不同假设下,文献证明了当实验次数增加时,通过大量实验得到的实验均值不再逼近于某个确定的期望值,而是在下概率(容度)下落在某个期望值区间内.在非可加期望流派,Peng是第一个提出g-期望和G-期望的学者.在9-期望的启迪下,Peng[29,30,31]提出了次线性期望下随机变量的独立和同分布定义,我们称之为Peng独立.在某些对非可加期望的假设下,Peng通过偏微分方程(PDE)理论给出了次线性期望下的大数定律和中心极限定理.将非可加概率和非可加期望两个学派的成果与经典大数定律相比较,我们发现,在对概率和期望的公理化性质进行削弱的同时,我们必须对状态空间,非可加概率,随机变量做出额外的技术性假设作为补偿.自然地,我们想到如下问题：可否借鉴经典可加概率(Feller,Linderberg等人)的证明方法,从概率的角度将大数定律推广到次线性期望下呢?答案是肯定的.本文中,我们首先借鉴了经典的Linderberg-Feller的证明思想在事件独立下给出了Choquet期望下的大数定理,然后推广到更一般情形：卷积独立下的次线性期望下大数定律,进而获得容度下的弱大数定律,并给出了一个与二者相关的等价定理.本文证明过程仅使用了泰勒展开式,次线性期望性质等纯概率基础工具,未采用特征函数或PDEs等复杂辅助手段.进一步,与文献相比,我们削弱了大数定理的假设条件.比如,在次线性期望下,降低了随机变量的阶矩条件,随机变量独立性假设也弱化为卷积独立.此外,我们的次线性大数定律能够涵盖着名的Ellsberg模型(带有模糊性的罐子模型),而Ellsberg模型因为具有概率模糊性并不符合文献中大数定律的假设条件.本文共分为四章.第一章研究在事件独立定义下,Choquet期望下的大数定律.第二章研究在卷积独立定义下,一般次线性期望下的大数定律.第叁章给出次线性大数定律在模糊条件下的应用.第四章给出了次线性大数定律的收敛误差估计.引入符号：假设Ω为状态空间,F为σ-域.称函数X:Ω→R为可测空间(Ω,F)上随机变量,若X是F-可测的.令H为可测空间(Ω,F)上随机变量全体的子集.假设Gb(R)为R上所有有界连续函数的集合C+b(R)为Cb(R)上的非负单调函数的全体C2b(R)为Cb(R)上那些函数一阶,二阶导数都存在且导数仍在Gb(R)中的函数全体.对给定有限常数μ和μ,记集合Dn:={y|y=(y1,y2,…,yn),yi∈[μ,μ],1≤i≤n}.(Ⅰ)第一章主要研究上Choquet期望下的大数定律.容度和Choquet期望在定义形式,基本性质等方面与概率和线性期望具有高度相似性.可以说,Choquet理论是联系经典线性理论与新兴次线性理论的桥梁.1999年到2005年,Maccherroni和Marinacci [27][28]提出了容度下的随机变量独立性定义,独立形式与概率下的独立定义相似.正是考虑到Choquet期望与线性期望的这种相似性,在将大数定律向非可加期望领域推广时,我们优先选择Choquet期望作为尝试的起点.所以本文先讨论Choquet这种相对简单的情况(此时类似线性期望有较多借鉴之处),在事件独立的假设下,给出了Choquet期望下大数定律.然后再考虑一般的次线性期望下大数定律.从简入难.回顾Choquet期望下大数定律的理论进展,我们发现在事件独立的假设下,不同文献给出了不同技术假设,但从证明方式来看,主要分为以下两种：一种是转化法：“曲线救国”,比如Chareka [3]将不可加的Choquet积分转化成可加的Lebesgue-Stieltjes积分.然后利用Lebesgue-Stieltjes积分性质证明了Choquet框架下的强(弱)大数定律.另一种是直接证明法：比如Li和Chen[26]直接证得容度下的Chebyshev不等式和Borel-Cantelli引理,从而证明了Choquet期望下大数定律,证明方法类似线性LLN.由此启发我们：在事件独立下,可否将大数定律的其他(Linderberg, Feller等)经典证法推广到Choquet期望下证得大数定律呢?我们的答案是肯定.我们知道,证明大数定律的关键条件是概率/期望的可加性和随机变量的阶矩条件.而本章讨论的Choquet期望恰为非可加期望.为了解决这个期望非可加问题,我们采用2-alternating容度,因为由2-alternating容度生成的Choquet期望具有我们所需的次可加性.在这个前提假设下,本章讨论了独立同分布随机变量序歹(?){Xi}∞i=1的依分布收敛(分布极限)问题.此外,对比其他Choquet结论,我们的Choquet大数定律对随机变量的阶矩条件也进行了弱化.在引入大数定律前,我们先叙述叁个核心引理作为铺垫.和变通项引理：引理1.3.1令V为F上的2-alternating容度,且Cv,Cv分别为由其生成的上,下Choquet期望.令{Xi}i=1∞为(Ω,F)上的一列独立随机变量.则对任意单调函数φ∈Gb(R)和任意常数yi∈R,其中n泰勒展开引理：引理1.3.2令V为2-alternating容度,Cv,Cv分别为其生成的上,下Choquet期望令{Xi)i=1∞为同分布随机变量列且满足Cv[Xi]=μ和Cv[Xi]=μ假设对任意i≥1,有Cv[|Xi|]<∞.则对任意函数φ∈Cb2(R),存在一个正值常数b。(∈)使得bn((?))→0当n→∞时,从而(Ⅰ)∑i=1n supx∈R{Cv[φ(x+xi/n)]-φ(x)≤supx∈R G(φ'(x),μ,μ)+bn((?)).(Ⅱ)∑i=1n infx∈R{Cv[φ(x+Xi/n)]-φ(x)≥infx∈R G(φ'(x),μ,μ)-bn((?)).其中G(x,μ,μ):=x+μ-x-μ.引理1.3.3令G(x,y,z)函数定义同引理1.3.2,即G(x,y,z):=x+y-x-z.则对单调的φ∈Cb(R),有(Ⅰ)infy∈Dn supx∈R G(φ'(x),μ-1/n∑ni=1yi,μ-1/n∑i=1n yi)=0.(Ⅱ)infy∈Dn infx∈R G(φ'(x),μ-1/n∑ni=1yi,μ-1/n∑i=1n yi)=0.经过上述叁个引理的铺垫,我们可以引入本章第一个定理：分布极限定理.此定理表明,在Choquet期望下实验均值的分布极限是一个最大分布.定理1.4.1(分布极限定理)令V为F上2-alternating容度,Cv,Cv分别为由其生成的上,下Choquet期望.假设{Xi}∞i=1为独立同分布随机变量列且满足Cv[Xi]=μ,Cv[Xi]=μ记部分和Sn:=∑ni=1Xi假设对任意i≥1,Cv[Xi]<∞.则对任意单调函数φ∈Cb(R),定理1.4.2(容度下的弱大数定律)令V为F上2-alternating容度,Cv,Cv分别为由其生成的上,下Choquet期望.令v(A):=Cv[IA],(?)4∈F假设{Xi}∞i=1为独立同分布随机变量列且满足Cv[Xi]=μ,Cv[Xi]=μ.记Sn:=∑ni=1Xi假设对任意i>1,Cv[|Xi|]<∞若对任意φ∈Cb+(R),任意∈>0,则有下面,我们给出一个令最大分布等价于容度下弱大数定律的充分条件.定理1.4.3(等价定理)令V为F上2-alternating容度,Cv,Cv分别为由其生成的上,下Choquet期望.给定函数φ∈Cb+(R),假设{Xi}∞不=1为一列独立同分布随机变量列并满足Cv[Xi]=μ,Cv[Xi]=μ假设对任意i>1,Cv[|Xi|]<∞.令Sn:=∑ni=1Xi则结论(A)与(B)等价.(A)对任意(?)>0,令v(4):=Cv[IA],VA∈F,有(?)v(μ-ε≤Sn/n≤μ+ε)=1.(B)对任意φ∈Cb(R),等价定理的意义在于：若收敛结论对单调φ∈Cb(R)成立,则对任意φ∈Gb(R)都成立.我们由分布极限定理推广得到如下Choquet期望下大数定律.定理1.4.4(Choquet期望下大数定律)令V为F上2-alternating容度,Cv,Cv分别为由其生成的上,下Choquet期望.假设{Xi}∞i=1为独立同分布随机变量列且满足Cv[Xi]=μ,Cv[Xi]=μ假设对任意i≥1,Cv[|Xi|]<∞.记Sn:=∑ni=1,Xi则对任意函数φ∈Cb(R),有注1.4.5由定理证明过程可知,随机变量同分布条件可以削弱为:随机变量具有有限共一阶矩,即{Xi}∞i=1满足1≤i≤n, Cv[Xi]=Cv[Xi], Cv[Xi]=Cy[X1]； Cv[|XI|]=Cv[|x1|], Cv[|Xi|]=Cv[|X1|]<∞.(Ⅱ)在第二章,我们用概率语言证得了次线性期望下的大数定律.本章是经典大数定律的自然推广.本章有四个主要结论：(1)我们对广义Ells-berg模型的极限分布进行了研究,并发现它的极限分布是一个最大分布.(2)我们将Ellsberg模型推广,得到了一个有关随机变量的充分条件,在这个条件下,实验均值的极限分布与Ellsberg模型的极限分布是一致的.(3)在次线性期望的φ-卷积独立定义下,我们给出了最大分布等价于容度下弱大数定律的充分条件.(4)我们将本章结论与文献结论进行了对比.在线性期望下卷积独立的启发下,我们将卷积独立这个概念推广到次线性期望之下.和变通项引理：引理2.3.1给定函数φ∈Cb(R)假设E为次线性期望,ε为其共轭期望.令{Xi}i=1∞为E下一列φ-卷积独立随机变量.则对任意常数yi∈R,1≤i≤n,有其中n则上述引理有如下变形：引理2.3.2令P为概率测度集,{Xi)i=1∞在每一个概率Q∈P下都是一列独立随机变量.则对任意常数yi∈R,i=1,2,…,n,和任意函数φ∈Cb(R),有其中下述泰勒展开引理是证明Choquet大数定律时的核心引理.我们将(0.1)式视为次线性期望E下的Linderberg条件.引理2.3.3假设E为次线性期望,￡为其共轭期望.假设随机变量序列{Xi}i=1∞具有有限共一阶矩且E[Xi]=μ,ε[Xi]=μ假设对任意∈>0,有则对任意单调函数φ∈C2b(R),(Ⅲ)特别的,若E[·]和ε[·]为概率测度集P上的上,下期望算子且满足则对任意单调函数φ∈C2b(R),经过上述引理的铺垫,我们引出容度下/次线性期望下的大数定律.定理2.4.1(Ellsberg型大数定律)给定一个概率测度集P,令(E,ε)分别为P上EQ生成的上,下期望.假设对任意Q∈P,{Xi}∞i=1是Q下一列独立随机变量,{Xi}i=1n具有有限共一阶矩(?)μ:=E[Xi],μ:=ε[Xi]使得假设条件(0.1)成立.记Sn:=∑ni=1Xi进一步,若则(Ⅰ)对任意单调函数φ∈Cb(R),我们有F,则对任意∈>0,定理2.4.2(次线性期望下的大数定律)假设E是一个次线性期望,￡是一个共轭期望.假设随机变量序列{Xi}∞i=1具有有限共一阶矩且E[Xi]=μ和ε[Xi]=μ.假设条件(0.1)成立.记部分和Sn:=∑ni=1Xi则有(Ⅰ)给定单调函数φ∈Cb(R),若{Xi}∞i=1是E下一列φ-卷积独立随机变量,则(Ⅱ)若对任意φ∈C+b(R),{X}∞i=1是E下一列φ-卷积独立随机变量,令v(A)：=ε[IA],VA∈(?),则对任意∈>0,类似第一章Choquet期望的结构,Ellsberg型大数定律(定理2.4.1)和次线性期望下大数定律(定理2.4.2)中的函数φ都局限于Cb(R)上的单调函数,为此我们引入次线性期望下的等价定理(定理2.4.3),将对单调φ∈Cb(R)成立的定理推广到对任意φ∈Cb(R)成立.定理2.4.3(次线性期望下的等价定理)假设E是一个次线性期望,ε是它共轭期望.对函数φ∈C+b(R),假设{Xi}∞i=1是一列φ-卷积独立的随机变量,具有有限共一阶矩且E[Xi]=μ和ε[Xi]=μ使得假设条件(0.1)成立.令Sn：=∑ni=1Xi则结论(A2)与(B2)等价.似(A2)对任意∈>0,(B2)对任意φ∈Cb(R),通过等价定理可知,Ellsberg型/E下的大数定律(Ⅰ)对任意φ∈Cb(R)都成立.表述如下.定理2.4.4假设条件同定理2.4..1.则对任意函数φ∈Cb(R),有定理2.4.5假设条件同定理2.4.2.给定任意φ∈Cb(R),若{Xi}∞i=1.是E下一列φ-卷积独立随机变量,则注2.4.6若{Xi)∞i=1的阶矩阶数大于1,即对任意常数β>1,E[|Xi|β<∞.注意到如果supi≥1E[|Xi|β]<∞,则定理2.4.5和引理2.3.3中的假设条件(0.1)都成立.所以根据Peng [32]中引理3.9的证明,定理2.4.5的条件φ∈Cb(R)就可以弱化为:连续函数φ满足增长条件|φ(x)|≤C(1+|x|β-1),去掉有界性.(Ⅲ)第叁章,次线性大数定律在模糊条件下的应用.例子3.1(带有模糊性的罐子模型)考虑有限可数个罐子,按顺序将编号记为{1,2,…}.实验者被告知第i个罐子里有100i个小球(此后100i表示100乘以i),颜色为红色或者黑色.第i个罐子里红色球的个数为25i到50i个不等.实验者不知道除此之外的任何信息.每一次只能从一个罐子里取出一个小球.记由定理2.4.4知:当实验次数足够多,n次试验中摸到红球的个数的实验均值服从如下最大分布例子3.2(期权定价模型)令{B)t≥0为概率空间(Ω,F,P)上的几何布朗运动.{St≥o是服从几何布朗运动的股票价格:dSt=μStdt+σStdBt.在非完全市场下,欧式期权的未来损益函数为φ(ST):=(ST-L)+因为上期望是eμ+σκ,下期望是eμ-σκ,由定理2.4.5知股价的分布极限如下(Ⅳ)第四章,主要研究次线性大数定律的收敛误差估计.定理4.1假设E是一个次线性期望,￡是一个共轭期望.假设随机变量序列{Xi)∞i=1具有有限共一阶矩,E[Xi]=-μ,ε[Xi]=μ.若记部分和Sn:=∑ni=1Xi则二阶矩下的大数定律收敛误差估计如下.其中μ:=|μ|∨|μ|.当阶矩条件降低至(?)supl≤i≤n E[|Xi|1+α]<∞,0<α<1,误差估计相关结果见定理4.2.(本文来源于《山东大学》期刊2014-05-10）
李欣鹏[3]（2013）在《次线性数学期望及其在博弈论中的应用》一文中研究指出1933年,Andrey Kolmogorov发表了着作《概率论基础》(初稿为德语,Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung),建立了现代概率论的公理体系.给定可测空间(Ω,F)上的概率测度P,则关于F可测的随机变量X的期望EO[X]定义为积分∫ΩXdP.显然,由于概率测度P是线性的,从而EP[·]为一个线性泛函.然而,许多不确定性现象并不能很好的用上述线性概率和线性期望来建模.一个很有趣的问题是如何建立非线性期望以及相应的条件期望.容度和Choquet期望(或Choquet积分)的概念由Choquet[17]引入,它们被广泛的应用于位势论(参见,Choquet[17],Doob[34])和决策论(参见,Schmeidler [108], Gilboa和Schmeidler[48]).然而据我们所知,条件Choquet期望的概念并没有被人们很好的理解,从而它们很难用于处理经济中的动态问题.另一重要的非线性期望一g-期望在Peng[85]中通过倒向随机微分方程来引入.它是一个理想的框架来度量概率不确定模型的随机性和风险(参见,Chen和Epstein[12],Fritelli和Rossaza Gianin[38],Peng[88]).然而,g-期望的一个局限性是它仅用来处理所涉及的不确定的概率测度关于一个参考概率测度(如,Wiener测度)绝对连续的情形.但是对于金融中着名的波动率不确定性问题,存在不可数个未知的概率测度,它们之间相互奇异Avellaneda等[3]和Lyons[73]研究了带有波动率不确定性的状态依赖的期权定价问题,而路径依赖的情形更有挑战性,需要创建一个比经典概率论更一般的框架.上述路径依赖下的非线性期望由Peng在[88,90]中建立,并且给出两种完全不同的方法来解决所涉及的动态相容性问题.前一种方法采用路径依赖下的更一般的动态规划原理；第二种方法使用Nisio形式的单调半群(参见Nisio[78,79]),称其为非线性Markov链,通过建立非线性形式的Kolmogorov相容性定理来构造非线性期望空间,这在经典概率论中同样重要.在上述所提到的非线性期望中,一类非常典型的非线性期望-G-期望首先由Peng[92]于2006年提出.事实上,G-期望也是一种非常典型的次线性期望,它保留了除去线性性质外线性期望所具有的其他良好性质.分布和独立性的概念在整个理论中起到非常重要的作用Peng的一项开创性工作是直接使用次线性期望E[·]来定义分布和独立,而不是使用容度这一看上去更加自然的概念来推广它们的定义.基于这些新概念Peng引入了一种非常重要的分布G-正态分布,它可以由所谓的G-热方程来刻画.G-期望和G-Brown运动的概念可以视为Wiener测度和经典的Brown运动的非线性推广.这些概念和相应的极限定理(大数定律和中心极限定理)以及关于G-Brown运动的Ito随机积分由Peng[92-102]引入并且做了系统研究.最近,很多作者基于Peng的开创性工作做了许多相应的推广.关于大数定律,Chen[11],Chen和Wu[14],Chen等[15]研究了强大数定律,这些结果是对Peng[93,96]中“弱”大数定律的推广.在Peng首先在[93]中证明了次线性期望空间中独立同分布(简记为i.i.d.)假设下的中心极限定理之后,许多作者在不假设同分布但是仍假设独立的情形下推广了这一结果,参见Li和Shi[66],Hu和Zhang[51],Hu[50],Hu和Zhou[58]等.关于G-期望理论框架下的Ito随机计算,特别的,关于Ito公式,由Gao[39]和Zhang等[123]等做出相应的推广.关于次线性期望理论以及G-期望理论的进一步工作可以参见Bai和Buckdahn[6],Bai和Lin[7],Chen和Hu[13],Denis等[30]Dolinsky等[33],Epstein和Ji[35],Gao[42],Gao和Jiang[41,42],Gao和Xu[43,44],Hu[52,53],Hu等[54：55],Hu和Peng[56,57],Lin[71],Lin[72],Nutz[80],Nutz和van Handel[81],Nutz和Zhang[82],Peng等[103],Soner等[112]Song[113-116],Xu和Zhang[122],等.本论文的出发点与Peng的开创性工作有一点不同.我们将次线性期望EP[·]视为一族概率测度集合P的上期望,其中P中的元素P为定义在可测空间(Ω,B(Ω))上的概率测度,这使得我们可以方便的利用线性期望EP[·]的现有性质来研究EP[·]的性质.并且我们从一个新的观点来研究独立的定义,即通过经典的条件期望来定义独立.这些新的构想使得我们可以将Peng[92-100]中相应的极限定理和Ito随机计算以及其他作者的工作推广到我们的框架中来.本论文中的第1章至第3章将重点研究这些问题.第4章是本论文的亮点.我们研究次线性期望和G-期望的性质,包括严格比较定理,可加性Wasserstein距离,对偶,控制和最优转移问题,尽管这些性质在经典概率论中是众所周知的,并且其中的一些性质甚至是显然的.这些结果是经典结果的非平凡推广,它们在第5章和第6章中多次用到.作为G-期望理论的应用.我们在第5章中介绍了连续最大变差鞅(简记为CMMV)的概念以及最大鞅变差问题.粗略地讲,最大鞅变差问题是指,给定一个定义在△(Rd)上的实值泛函M和一个概率测度μ∈△(Rd),我们的目标是在由所有长度为n的其终端值在Blackwell意义下受控于μ的取值于Rd的鞅所组成的集合上最大化所谓的M-变差.这一问题推广了Mertens和Zamir[77]中所引入的最大L1-变差问题.一维情形下的一般问题在De Meyer[26]中所研究,随后由Gensbittel[46]推广到多维情形.我们基于第1章至第4章中的结果给出这一问题的一个新的简洁的证明.两篇文章[26]和[46]中仅研究中心化的情形,即,泛函M仅定义在零均值的概率测度集上,我们将其推广到非中心化的情形,并且我们将在随后一章研究带有交易费用的博弈模型时发现这一推广非常有用.在第6章,我们基于Aumman和Maschler[4]的模型研究一类更广的单边不完全信息下的重复博弈模型,这类模型首先由De Meyer[25]以金融交易博弈的形式提出,随后由Gensbittel[45,47]推广到多维情形.这些博弈模型与第5章中所介绍的连续最大变差鞅的概念以及最大鞅变差问题有着紧密的联系.我们系统地研究了两个具体的博弈模型并且得到它们的Nash均衡显式解.通过这些模型我们可以看出连续最大变差鞅在股票市场中是一类非常稳健的价格过程.我们指出第5章和第6章的内容仅仅是从G-期望观点来研究博弈论的一个初步尝试,还有许多有趣的问题有待进一步研究.论文共分为六章,以下是本文的结构和得到的主要结论：(Ⅰ)第1章主要研究不确定性下的随机游走和相应的极限定理.我们将经典的Bernoulli随机游走和简单随机游走推广到不确定性的情形.所谓的“不确定性”是指参考的概率测度不是唯一的,而是一族概率测度组成的集合.设(Ω,B(Ω))为一个可测空间,P为定义在(Ω,B(Ω))上的概率测度组成的集合.给定随机变量X,参照Peng[93],X在P下的分布函数为Gb,Lip(R)到R上的泛函,其定义为其中Cb,Lip(R)为R上的有界Lipschitz函数空间.为了简化记号,我们将SupP∈ρ EP[·]记为EP[·]Peng[93]中给出的在P下独立的定义如下定义1.4设{Xi}i=1∞为一列(Ω,B(Ω))上的随机变量.如果对任一φ∈Cb.Lip(Rn),那么我们称Xn在P下独立于(X1,…,Xn-1).如果对每个n∈N,Xn在P下独立于(X1.…,X-1),那么我们称{Xi}i=1∞在P下独立.我们通过经典的条件期望给出一个独立的新定义：定义1.5设{Xi}i=1∞为一列(Ω,B(Ω))上的随机变量.给定(Ω,B(Ω))上的一族概率测度P,如果下列条件成立.(1)(?)P∈P,(?)φ∈Cb,Lip(R),EP[φ(Xn)|X1,…,Xn-1]≤EP[φ(Xn)],P-a.s.(2)(?)φ∈Cb,Lip(R),存在依赖于φ的P∈P,使得EP[φ(Xn)|X1,…,Xn-1]=EP[φ(Xn)],P-a.s.那么我们称Xn在P下弱独立于(X1,…,Xn-1).如果对每个n∈N,Xn在P下弱独立于(X1,…,Xn-1),那么我们称{Xi}i=1∞在P下弱独立.下面的定理给出了弱独立和Peng的独立定义之间的关系.定理1.7设{Xi｝i=1∞为一列在P下弱独立的随机变量序列.我们定义P如下P={P:(?)φ∈Cb,Lip(R),(?)n∈N,EP[φ(Xn)|X1,…,Xn-1]≤EP[φ(Xn)],P-a.s.｝.则{Xi｝i=1∞在定义1.4的意义下在P下独立,并且我们可以证明在独立同分布假设下关于Bernoulli随机游走的大数定律,并且我们将它推广到不假设独立同分布的情形.下面的定理是更一般的形式.定理1.9设{Xk｝k=1∞为可测空间(Ω,B(Ω))上的一列随机变量,P为定义在(Ω,B(Ω))上所有满足下列条件的概率测度P组成的集合：(?)n∈N,μ≤EP[Xn|X1,…,Xn-1]≤μ且EP[|Xn|q|X1,…,Xn-1]≤Kq P-a.s.,其中μ,μ,K,q为常数且q>1.则我们有(i)对每一μ∈[μ,μ],存在Pμ∈P,使得(ii)对每一P∈P,(iii)对每一φ∈Cb,Lip(R),我们同样考虑关于简单随机游走的中心极限定理.G-正态分布的概念在中心极限定理中起到关键作用.在本章中,G-正态分布通过G-热方程的解来定义.定义1.10如果ξ的分布通过下式给出其中uφ(t,x)为如下G-热方程的解：其中G(α)=1/2σ2α+-1/2σ2α-,0≤σ≤σ.那么我们称ξ为G-正态分布,记为ξN(0,[σ2,σ2]).我们在此仅列出两个中心极限定理.事实上,它们在某种意义上是等价的.第二个多维情形下的中心极限定理会在第5章用到.我们将G-正态分布ξ的分布记为EG[φ(ξ)]：=Fξ(φ).定理1.14设{Xi｝i=1∞为可测空间(Ω,B(Ω))上的一列随机变量.设P为定义在(Ω,B(Ω))上的所有满足下列条件的概率测度组成的集合：(?)P∈P,(?)i∈N,(1)EP[Xi|X1,…,Xi-1]=0,(2)σ2≤EP[X,2|X1,…,Xi-1]≤σ2,(3)EP[|Xi|q|X1,…,Xi-1]≤Kq.我们记Sn=∑i=1n Xi.设Mn1(∑,K)为概率空间(Ω,B(Ω),P)上所有满足下列条件的长度为n的取值于Rd的鞅组成的集合：(i)EP[Sn]=0,(ii)EP[(Sk+1-Sk)(Sk+1-Sk)T|S1,…,Sk]∈∑,0≤k≤n-1,其中∑为S+(d)中的有界凸闭子集.(iii)EP[||Sk+1-Sk||q]≤K,0≤k≤n-1.设Vn[φ]:=supS∈mq(Σ,K)EP[φ[Sn/(?)n)].定理1.17我们假设q>2.设ξ为G-期望EG[·]下的G-正态分布N(0,∑),则(?)φ∈C(Rd)且满足增长条件|φ(x)|≤C(1+|x|p),其中1≤p＜q,我们有在第1章的最后一节,我们给出G-Brown运动通过简单随机游走的逼近定理.设{Sn｝n=1∞为一个离散时间过程,则S的连续时间化过程定义为St=Sn+(t-n)(Sn+1-Sn), n≤t<n+1.定理1.19设{Sn｝n=1∞为P下带有方差不确定性的简单随机游走.我们定义则Wt(n)弱收敛于G-Brown运动,即,对每一个k∈N和0≤t1<t2<…＜tk,我们有其中(Bt)t≥0为G-Brown运动,满足EG[B12]=EP[S12]且EG[-B12]=EP[-S12].(Ⅱ)第2章研究次线性空间中的极限定理.设P为可测空间(Ω,B(Ω))上的概率测度组成的集合.次线性期望EP[·],上概率V(·)和下概率υ(·)分别定义为Ep[·]=supP∈ρEp[·];V(·)=supP∈ρ=P(·);v(·)=infP∈ρP(·).我们给出乘积独立和加和独立的定义,这些定义比Peng[93]中给出的独立的定义要弱.定义2.14设X1,X2,…,Xn为(Ω,B(Ω))上的一列可测随机变量.(i)如果对于每一个非负有界的Lipschitz函数φk,k=1,…,n,那么我们称Xn乘积独立于(X1,…,Xn-1).(ii)如果对于每一个φ∈Cb,Lip(R),那么我们称Xn加和独立于(X1,…,Xn-1).下面给出的大数定律是Peng[93,96,98],Chen[11],Chen和Wu[14],以及Chen等[15]中的大数定律的推广.定理2.17设{Xk｝k=1∞为一列随机变量满足：对某一q>1,supk≥1EP[|Xk|q]＜∞,且EP[Xk]叁μ,-EP[-Xk]叁μ,k=1,2,设Sn=∑k=1n Xk.(i)如果{Xk｝k=1∞乘积独立,那么(ii)如果{Xk｝k=1∞乘积独立且加和独立,那么(iii)如果{Xk｝k=1∞加和独立且V(·)上连续,即,当An↓A时,V(An)↓V(A),其中,An,A∈B(Ω),那么关于次线性期望空间上的中心极限定理,Peng[93]首先证明了独立同分布的情形,随后由Li和Shi[66],Hu和Zhang[51],Hu[50],Hu和Zhou[58]推广到不假设同分布的情形.然而,所有的这些定理均要求随机变量的独立性.我们考虑一个比独立稍弱的条件,称之为m-相依,并且证明了相应的中心极限定理.这一结果已被Acta Mathematicae Applicatae Sinica, English Series所接受.定义2.31如果存在一个整数m使得对每一个n和每一个j≥m+l,(Xn+m+1,…,Xn+j)均独立于(X1,…,Xn),那么我们称序列{Xi｝i=1∞为m-相依.特别的,如果m=0,那么称{Xi｝i=1∞为独立序列.定理2.32设{Xi｝i=1∞为一列m-相依序列,满足且对i=1,2,…,EP[|Xi|2+α]≤M,其中α>0且M为常数.设Sn=∑i=1n,则我们有其中ξ～N(0；[σ2,σ2]).(Ⅲ)第3章主要研究不假设拟连续条件的Ito随机计算,并且得到一般形式的Ito公式以及具有局部Lipschitz系数的随机微分方程的解的存在唯一性.现有的关于G-Brown运动的Ito随机分析均建立在随机过程空间MGp(0,T)(p≥1)上(参见,Peng[92,95,97,98,100]以及Gao[39]和Zhang等[123]),其中空间MGp(0,T)由满足拟连续条件的随机变量所生成.然而停时这一在经典随机分析中非常重要的概念并不满足拟连续性,从而我们很难在空间MGp(0,T)中处理停时问题.这也导致现有的Ito公式均对C2-函数要求一定的增长条件.为了克服上述困难,我们在本章中引入一个更大的随机过程空间M*p(0,T).它是由未必满足拟连续条件的随机变量所生成.随后我们在这个更大的空间M*p(0,T)上定义Ito随机积分,并且我们考虑了定义在停时区间上的Ito随机积分.这使得我们可以在“局部可积”空间Mω2(0,T)上定义Ito随机积分.这一新的理论框架使得我们可以得到关于C1,2-函数的更一般的Ito公式,这一结果在本质上推广了Peng[92,95,97,98,100]以及Gao[39]和Zhang等[123]中的结果.该结果与导师彭实戈教授合作发表于Stochastic Process and Their Applications121(7)1492-1508.定理3.41设Φ∈C1,2([0,T]×R)且则对任一t∈[0,T],我们有,在本章的最后一节,我们考虑如下由d维G-Brown运动驱动的随机微分方程：其中b(·,·),hij(·,·),σj(·,·)：[0,T]×R→R为连续函数,X0为常数.我们引入如下条件：(H1)有界性条件：对任一s∈[0,T](H2)Lipschitz条件：对任何x,y∈R和s∈[0,T],max{|b(s,x)-b(s,y)|,|hij(s,x)-hij(s,y)|,|σj(s,x)-σj(s,y)|}≤K|x-y|.(H3)局部Lipschitz条件：对所有满足|x|,|y|≤R的x,y∈R以及s∈[0,T],max{|b(s,x)-b(s,y)|,|hij(s,x)-hij(s,y)|,|σj(s,x)-σj(s,y)|}≤KR|x-y|.(H4)增长性条件：对任一x∈R和s∈[0,T],xb(s,x)≤K(1+x2), xhij(s,x)≤K(1+x2),|σj(s,x)|2≤K(1+x2).第一个定理给出在空间M*2(0,T)上的解的存在唯一性.第二个定理研究具有局部Lipschitz系数的随机微分方程的可解性.定理3.44假设条件(H1)和(H2)成立.则存在唯一的过程X∈M*2(0,T)满足(1).定理3.45假设条件(H3)和(H4)成立.则随机微分方程(1)存在唯一的连续适应解X.(Ⅳ)第4章研究次线性期望和G-期望的性质,包括严格比较定理,可加性,G-期望与Choquet期望之间的联系,Wasserstein距离,对偶,控制以及最优转移问题.本章分为五节来研究上述性质.在第4.1节,我们研究严格比较定理.我们在此仅列出本节中两个重要的定理.定理4.4设X,Y∈Lc1(Ω)且X≤Y q.s.如果那么EP[X]＜EP[Y].定理4.9设旦＞0且X,Y∈Lip(Ω)具有如下形式X=φ(Bt1,Bt2-Bt1,…,Btn-Btn-1)和Y=ψ(Bt1,Bt2-Bt1,…,Btn-Btn-1),其中φ(x)≤ψ(x),(?)x∈Rn.则EG[X]＜EG[Y]当且仅当存在x0∈Rn使得φ(x0)＜ψ(xo).在第4.2节,我们研究G-期望的可加性.设ξ为G-正态分布N(0,[σ2,σ2]),其中0<σ<σ.如下的两个定理是本节中的主要定理.定理4.13我们假设φ,ψ∈Cb,Lip(R).则EG[φ(ξ)+ψ(ξ)]=EG[φ(ξ)]+EG[ψ(ξ)]当且仅当(?)xxu(t,x)(?)xxσ(t,x)≥0,V(t,x)∈(0,1)×R.定理4.16如果存在x0θ>0使得φ,ψ∈C2((x0-θ,x0+θ))且φ″(x0)ψ″(x0)＜0,那么我们有在第4.3节,我们比较了G-期望和Choquet期望并且给出了一些有趣的例子.我们证明了G-期望被相应的Choquet期望所控制.下面的定理是本节中的主要定理.定理4.26G-期望EG[·]可以表示成Choquet期望Ec[·]伊P,(?)X∈LG1(Ω),EG[X]=Ec[X])当且仅当EG[·]为线性(即,σ=σ.在第4.4节,我们将经典的Wasserstein距离及其相应的性质推广到次线性空间.设P1和P2为两个非空凸的弱紧的概率测度集合.我们定义P1和P2之间的Hausdorff-Wasserstein距离如下：其中Wp(P1,P2)是经典的P1和P2之间的Wasserstein距离.我们首先给出次线性形式的Kantorovich-Rubinstein对偶公式.定理4.30||φ||Lip≤1表示Lipschitz函数φ的Lipschitz系数小于等于1.众所周知,概率测度的弱收敛等价于Wasserstein距离下收敛,我们给出这一性质在次线性期望框架下的非平凡推广.定义4.31设{EPn}n=1∞为一列次线性期望.如果对每一φ∈Cb,Lip(Ω),那么我们称{EPn｝n=1∞弱收敛于EP,或等价的,称{Pn｝n=1∞弱收敛于P.定理4.35设{Pn｝n=1∞为一列凸的弱紧的概率测度集合满足下列条件：设P为一凸的弱紧的概率测度集合.则下面的两个论述等价：(ⅰ)Pn弱收敛于P.(ⅱ)W1(Pn,P)→0.在第4.5节,我们介绍了经典情形以及次线性情形下的对偶和控制的概念以及最优转移问题.首先介绍的Fenchel对偶及其性质在第6章中研究对偶博弈时会再次用到.随后我们介绍了经典的Blackwell控制的概念,并且得到一个关于次线性期望的控制定理.定理4.47如果P1和P2为(Ω,B(Ω))上的两个凸的弱紧的概率测度集合.那么下面的叙述等价：(ⅰ)EP1[·]被EP2[·]所控制.(ⅱ)P1(?)P2.最后,我们研究次线性空间上的Kantorovich最优转移问题.设Q1和Ω2为两个完备可分的距离空间,Ⅱ(μ,υ)为定义在(Ω1(?)Q2,B(Q1(?)Q2))上的所有满足其边际分布在Q1和Ω2上分别为μ和υ的概率测度组成的集合.设P1和P2为分别定义在(Ω1,B(Q1))和(Ω2,B(Q2))上的弱紧的凸的概率测度集合.记Ⅱ(ρ1,ρ2)=∪μ∈ρ1,v∈ρ2Ⅱ(μ,v)对Ω1(?)Ω2上的连续函数c,Φc为所有满足下列条件的连续函数对(φ,ψ)组成的集合：φ(ω1)+φ(ω2)≥c(ω1,ω2),(?)ω1∈Ω1,ω2∈Ω2.我们得到如下形式的对偶公式：定理4.49设c：Q1(?)Ω2→R为连续函数,则我们有我们同时考虑如下的最大协方差问题：给定一个概率测度μ和一个概率测度集合P.最大协方差函数C(μ,P)定义为下面的定理在第5章中会用到.定理4.52设{Pn｝和P为凸的弱紧的概率测度集合,μ为任一概率测度.如果W2(Pn,P)→0,那么我们有(Ⅴ)第5章主要研究连续最大变差鞅和最大鞅变差问题.我们首先介绍De Meyer[26]中所提出的连续最大变差鞅的概念,然后我们将其推广到G-期望框架.本章的主要目的是解决如下的最大鞅变差问题.设Mn(μ)为(F,X)组成的集合,其中F：=(Fq)q=1,…,n为概率空间(Ω,B(Ω),P)上的信息族,X=(Xq)q=1,…,n为F鞅,其终端分布Xn在Blackwell意义下受控于μ.给定泛函M：△2(Rd)→R,我们可以定义M-变差VnM(F,X)如下则最大M变差VM(μ)定义为对于一维的情形,我们得到如下的定理：定理5.11如果M满足.(ⅰ)正齐性(?)X∈L02(R),(?)α>0:M[αX]=α[X].(ⅱ)Lipschitz连续性：存在p∈[1,2)和K∈R使得对所有的X,Y∈L02(R)：|M[X]-M[Y]|≤K||X-Y||Lp.(ⅲ)常数平移不变性M[X+β]=M[X]+M[β],(?)β∈R.那么对所有的μ∈△2(R),我们有(3)如果ρ>0并且对所有的n,(Fn,Xn)∈Mn(μ)满足VnM(Fn,Xn)=VnM(μ),那么Xn的连续时间表示Πtn：=X[nt]n依有限维分布收敛到连续最大变差鞅Πμ.对于多维情形,我们首先引入辅助函数r定义如下其中cov(μ)为μ∈△02(Rd)的协方差矩阵.集合r的定义可以参见定义5.12.我们假设M：△2(Rd)→R满足如下假设：(H1)M≥0并且非退化：(?)x∈Rd,存在μ∈△02(Rd)使得μ(Rx)=1,且M(μ)≥0.(H2)M在p阶Wasserstein距离下K-Lipschitz连续,其中p∈[1,2).(H3)M满足正齐性：(?)X∈L2(Rd),λ>0,M[λX]=AM[X].(H4)M在△02(Rd)上为凸泛函.(H5)r为拟凸函数,即,(?)α∈R,{Y∈L2(Rd)|r(cov(Y))≤α}.在L2(Rd)中为凸集.(H6)M[X+β]=M[X]+M[β],(?)β∈Rd.我们有下面的定理：定理5.14在假设(H1)-(H6)下,我们有(Ⅵ)第6章主要研究一类广义的Aumann和Maschler[4]中所介绍的重复博弈模型.这类模型首先在De Meyer[25]中作为金融交易模型引入,随后由Gensbittel[45,47]推广到多维情形.与Aumann-Maschler的模型所不同的是我们允许状态集和策略集为不可数集.本章包含四节.在第6.1节,我们研究[45]中所提出的线性博弈模型并且将[45]中的Cav(u)定理从△(P)推广到△1(Rd),其中P为Rd中的凸紧子集.设Vn(μ)和瓦(μ)分别为单边信息不对称重复博弈模型Γn(μ)(参见第6.1节)中参与者1的最大支付和参与者2的最小支付,ui(μ)和u(μ)分别为完全信息下的博弈模型中相应的支付.我们有如下的Cav(u)定理：定理6.5对所有的μ∈△1(Rd),我们有如果我们进一步假设,(?)μ∈△∞(Rd),博弈r1(μ)存在值,即,V1(μ)=V1(μ)=V1(μ),那么我们有如下更精确的Cav(u)定理：定理6.9如果V1满足如下假设：(i)存在μ0∈△2(Rd)使得V1(μ0)＞0.(ⅱ)V1([L+β])=V1([L])+V1([β]),(?)β∈Rd.那么我们有,对所有的μ∈△2(Rd),其中ξ～N(0,Γ),Γ在第5章第5.3节中给出,我们需要用V1代替那里的M.在第6.2节,我们研究一类特殊的线性博弈模型,称为金融交易模型.这一模型由De Meyer[25]提出.我们推广了[25]中的自然交易机制.在博弈Γn(μ)中(参见第6.2节),自然交易机制的假设如下：(H1)博弈值的存在性：(?)μ∈△∞(R),博弈Γ1(μ)存在值.(H2)交易的有界性：(?)i,j:|Aij|≤K,其中K为常数.(H3)正齐性：(H4)关于风险资产中的无风险部分的平移不变性：(H5)信息具有正价值：(?)L∈L2(R)：V1([L])>0.基于第5章的结果,我们给出下面的值函数以及价格过程的逼近定理.定理6.15如果(H1)-(H5)成立,那么对所有的μ∈△2(R),(ⅲ)如果ρ>0且对所有的n,(Fn,Xn)∈Mn(μ)满足VnV1(Fn,Xn)=Vn(μ),那么Xn的连续时间表示Ⅱtn：=X[nt]n依有限维分布收敛于Ⅱμ.在第6.3节中,我们系统的研究了一个带有交易费用的博弈模型,它并不满足[25]中的自然交易机制但是满足我们在第6.2节中推广的自然交易机制.我们通过对偶方法得到这一模型的Nash均衡显式解.并且我们证明了由非内幕参与者所提出的价格过程在有限维分布下收敛到连续最大变差鞅.这一结果更好的表明连续最大变差鞅在股票市场中是一类非常稳健的价格过程.在第6.4节,我们研究了一个博弈模型其中博弈双方均不是风险中性,这推广了DeMeyer[26]中的结果,原结果中非内幕参与者是风险厌恶而内幕参与者是风险中性.我们得到的结论非常有趣Nash均衡解不依赖于内幕参与者的风险态度,即,当内幕参与者是风险中性时的Nash均衡同时也是内幕参与者是风险厌恶或风险喜好时的均衡解.(本文来源于《山东大学》期刊2013-05-06）
贾广岩[4]（2009）在《次线性数学期望的极小元及其相关性质》一文中研究指出证明对于一个定义在L~2(Ω,F,P)上的次线性数学期望ε|·|,下列断言是等价的:(i)ε是定义在L~2(Ω,F,P)上由所有次线性数学期望构成的集合的一个极小元;(ii)ε是线性的;(iii)基于ε的二元Jensen不等式成立.并且还证明了一个关于次可加数学期望和超可加数学期望的Sandwich定理.(本文来源于《中国科学(A辑:数学)》期刊2009年01期）
次线性数学期望论文开题报告
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
自从Choquet [13]提出容度概念后,人们对容度理论越来越感兴趣.因为在经济,统计学,工程学等领域有很多带有不确定性的问题,它们无法用传统的可加概率测度来准确预测或描述.现实中,概率可加性假设局限性明显,越来越多的人们开始舍弃可加概率这一传统工具,转而使用非可加(上,下)概率测度这一新兴工具来刻画带有不确定性的问题.事实上,早在1954年,Keynes[24]就发现了此类转变需求,从而创建了不确定概率理论.容度,这一非可加概率测度,就成为了刻画不确定性问题时一种十分合适的数学工具(参见Aug-ust in [1], Maccherroni和Marinacci [27], Doob [17], Schmeidler [33])鉴于金融数学和应用统计的广泛需求,非可加(上,下)概率/期望下随机变量的基本性质成为人们争相研究的学术热点.众所周知,大数定律(LLN)在概率论与数理统计的发展和应用中发挥了至关重要的奠基作用,与此同时,我们发现有关非可加容度/期望下(强)大数定律的研究成果十分丰富,主要分为两个学术流派：一个是非可加概率流派,其特征是用非可加(不确定的)概率来刻画非可加概率下随机变量的频率属性.另一个是非线性期望流派,其特征是用非可加(上,下)期望来刻画非可加期望下随机变量的频率属性.尽管这两个流派在经典线性概率理论下是等价的,他们在非线性框架下是完全不同的,因为一个非线性期望通常是不能被相应的非线性概率唯一确定的(参见Chen.Z, Chen.T和Davison [7]以及Choquet, Hu, Memin和Peng [12])非可加概率流派成果众多,比如早期经典文献Dow和Verlang [18]以及Walley和Fine [36],近期着名成果例如Cooman和Miranda [15], Epstein和Schneider [19], Marinacci [28], Mac-cheroni和Marinacci [27], Chen和Wu [10], Chen, Wu和Li [11]以及Terdn [34].在对非可加概率的不同假设下,文献证明了当实验次数增加时,通过大量实验得到的实验均值不再逼近于某个确定的期望值,而是在下概率(容度)下落在某个期望值区间内.在非可加期望流派,Peng是第一个提出g-期望和G-期望的学者.在9-期望的启迪下,Peng[29,30,31]提出了次线性期望下随机变量的独立和同分布定义,我们称之为Peng独立.在某些对非可加期望的假设下,Peng通过偏微分方程(PDE)理论给出了次线性期望下的大数定律和中心极限定理.将非可加概率和非可加期望两个学派的成果与经典大数定律相比较,我们发现,在对概率和期望的公理化性质进行削弱的同时,我们必须对状态空间,非可加概率,随机变量做出额外的技术性假设作为补偿.自然地,我们想到如下问题：可否借鉴经典可加概率(Feller,Linderberg等人)的证明方法,从概率的角度将大数定律推广到次线性期望下呢?答案是肯定的.本文中,我们首先借鉴了经典的Linderberg-Feller的证明思想在事件独立下给出了Choquet期望下的大数定理,然后推广到更一般情形：卷积独立下的次线性期望下大数定律,进而获得容度下的弱大数定律,并给出了一个与二者相关的等价定理.本文证明过程仅使用了泰勒展开式,次线性期望性质等纯概率基础工具,未采用特征函数或PDEs等复杂辅助手段.进一步,与文献相比,我们削弱了大数定理的假设条件.比如,在次线性期望下,降低了随机变量的阶矩条件,随机变量独立性假设也弱化为卷积独立.此外,我们的次线性大数定律能够涵盖着名的Ellsberg模型(带有模糊性的罐子模型),而Ellsberg模型因为具有概率模糊性并不符合文献中大数定律的假设条件.本文共分为四章.第一章研究在事件独立定义下,Choquet期望下的大数定律.第二章研究在卷积独立定义下,一般次线性期望下的大数定律.第叁章给出次线性大数定律在模糊条件下的应用.第四章给出了次线性大数定律的收敛误差估计.引入符号：假设Ω为状态空间,F为σ-域.称函数X:Ω→R为可测空间(Ω,F)上随机变量,若X是F-可测的.令H为可测空间(Ω,F)上随机变量全体的子集.假设Gb(R)为R上所有有界连续函数的集合C+b(R)为Cb(R)上的非负单调函数的全体C2b(R)为Cb(R)上那些函数一阶,二阶导数都存在且导数仍在Gb(R)中的函数全体.对给定有限常数μ和μ,记集合Dn:={y|y=(y1,y2,…,yn),yi∈[μ,μ],1≤i≤n}.(Ⅰ)第一章主要研究上Choquet期望下的大数定律.容度和Choquet期望在定义形式,基本性质等方面与概率和线性期望具有高度相似性.可以说,Choquet理论是联系经典线性理论与新兴次线性理论的桥梁.1999年到2005年,Maccherroni和Marinacci [27][28]提出了容度下的随机变量独立性定义,独立形式与概率下的独立定义相似.正是考虑到Choquet期望与线性期望的这种相似性,在将大数定律向非可加期望领域推广时,我们优先选择Choquet期望作为尝试的起点.所以本文先讨论Choquet这种相对简单的情况(此时类似线性期望有较多借鉴之处),在事件独立的假设下,给出了Choquet期望下大数定律.然后再考虑一般的次线性期望下大数定律.从简入难.回顾Choquet期望下大数定律的理论进展,我们发现在事件独立的假设下,不同文献给出了不同技术假设,但从证明方式来看,主要分为以下两种：一种是转化法：“曲线救国”,比如Chareka [3]将不可加的Choquet积分转化成可加的Lebesgue-Stieltjes积分.然后利用Lebesgue-Stieltjes积分性质证明了Choquet框架下的强(弱)大数定律.另一种是直接证明法：比如Li和Chen[26]直接证得容度下的Chebyshev不等式和Borel-Cantelli引理,从而证明了Choquet期望下大数定律,证明方法类似线性LLN.由此启发我们：在事件独立下,可否将大数定律的其他(Linderberg, Feller等)经典证法推广到Choquet期望下证得大数定律呢?我们的答案是肯定.我们知道,证明大数定律的关键条件是概率/期望的可加性和随机变量的阶矩条件.而本章讨论的Choquet期望恰为非可加期望.为了解决这个期望非可加问题,我们采用2-alternating容度,因为由2-alternating容度生成的Choquet期望具有我们所需的次可加性.在这个前提假设下,本章讨论了独立同分布随机变量序歹(?){Xi}∞i=1的依分布收敛(分布极限)问题.此外,对比其他Choquet结论,我们的Choquet大数定律对随机变量的阶矩条件也进行了弱化.在引入大数定律前,我们先叙述叁个核心引理作为铺垫.和变通项引理：引理1.3.1令V为F上的2-alternating容度,且Cv,Cv分别为由其生成的上,下Choquet期望.令{Xi}i=1∞为(Ω,F)上的一列独立随机变量.则对任意单调函数φ∈Gb(R)和任意常数yi∈R,其中n泰勒展开引理：引理1.3.2令V为2-alternating容度,Cv,Cv分别为其生成的上,下Choquet期望令{Xi)i=1∞为同分布随机变量列且满足Cv[Xi]=μ和Cv[Xi]=μ假设对任意i≥1,有Cv[|Xi|]<∞.则对任意函数φ∈Cb2(R),存在一个正值常数b。(∈)使得bn((?))→0当n→∞时,从而(Ⅰ)∑i=1n supx∈R{Cv[φ(x+xi/n)]-φ(x)≤supx∈R G(φ'(x),μ,μ)+bn((?)).(Ⅱ)∑i=1n infx∈R{Cv[φ(x+Xi/n)]-φ(x)≥infx∈R G(φ'(x),μ,μ)-bn((?)).其中G(x,μ,μ):=x+μ-x-μ.引理1.3.3令G(x,y,z)函数定义同引理1.3.2,即G(x,y,z):=x+y-x-z.则对单调的φ∈Cb(R),有(Ⅰ)infy∈Dn supx∈R G(φ'(x),μ-1/n∑ni=1yi,μ-1/n∑i=1n yi)=0.(Ⅱ)infy∈Dn infx∈R G(φ'(x),μ-1/n∑ni=1yi,μ-1/n∑i=1n yi)=0.经过上述叁个引理的铺垫,我们可以引入本章第一个定理：分布极限定理.此定理表明,在Choquet期望下实验均值的分布极限是一个最大分布.定理1.4.1(分布极限定理)令V为F上2-alternating容度,Cv,Cv分别为由其生成的上,下Choquet期望.假设{Xi}∞i=1为独立同分布随机变量列且满足Cv[Xi]=μ,Cv[Xi]=μ记部分和Sn:=∑ni=1Xi假设对任意i≥1,Cv[Xi]<∞.则对任意单调函数φ∈Cb(R),定理1.4.2(容度下的弱大数定律)令V为F上2-alternating容度,Cv,Cv分别为由其生成的上,下Choquet期望.令v(A):=Cv[IA],(?)4∈F假设{Xi}∞i=1为独立同分布随机变量列且满足Cv[Xi]=μ,Cv[Xi]=μ.记Sn:=∑ni=1Xi假设对任意i>1,Cv[|Xi|]<∞若对任意φ∈Cb+(R),任意∈>0,则有下面,我们给出一个令最大分布等价于容度下弱大数定律的充分条件.定理1.4.3(等价定理)令V为F上2-alternating容度,Cv,Cv分别为由其生成的上,下Choquet期望.给定函数φ∈Cb+(R),假设{Xi}∞不=1为一列独立同分布随机变量列并满足Cv[Xi]=μ,Cv[Xi]=μ假设对任意i>1,Cv[|Xi|]<∞.令Sn:=∑ni=1Xi则结论(A)与(B)等价.(A)对任意(?)>0,令v(4):=Cv[IA],VA∈F,有(?)v(μ-ε≤Sn/n≤μ+ε)=1.(B)对任意φ∈Cb(R),等价定理的意义在于：若收敛结论对单调φ∈Cb(R)成立,则对任意φ∈Gb(R)都成立.我们由分布极限定理推广得到如下Choquet期望下大数定律.定理1.4.4(Choquet期望下大数定律)令V为F上2-alternating容度,Cv,Cv分别为由其生成的上,下Choquet期望.假设{Xi}∞i=1为独立同分布随机变量列且满足Cv[Xi]=μ,Cv[Xi]=μ假设对任意i≥1,Cv[|Xi|]<∞.记Sn:=∑ni=1,Xi则对任意函数φ∈Cb(R),有注1.4.5由定理证明过程可知,随机变量同分布条件可以削弱为:随机变量具有有限共一阶矩,即{Xi}∞i=1满足1≤i≤n, Cv[Xi]=Cv[Xi], Cv[Xi]=Cy[X1]； Cv[|XI|]=Cv[|x1|], Cv[|Xi|]=Cv[|X1|]<∞.(Ⅱ)在第二章,我们用概率语言证得了次线性期望下的大数定律.本章是经典大数定律的自然推广.本章有四个主要结论：(1)我们对广义Ells-berg模型的极限分布进行了研究,并发现它的极限分布是一个最大分布.(2)我们将Ellsberg模型推广,得到了一个有关随机变量的充分条件,在这个条件下,实验均值的极限分布与Ellsberg模型的极限分布是一致的.(3)在次线性期望的φ-卷积独立定义下,我们给出了最大分布等价于容度下弱大数定律的充分条件.(4)我们将本章结论与文献结论进行了对比.在线性期望下卷积独立的启发下,我们将卷积独立这个概念推广到次线性期望之下.和变通项引理：引理2.3.1给定函数φ∈Cb(R)假设E为次线性期望,ε为其共轭期望.令{Xi}i=1∞为E下一列φ-卷积独立随机变量.则对任意常数yi∈R,1≤i≤n,有其中n则上述引理有如下变形：引理2.3.2令P为概率测度集,{Xi)i=1∞在每一个概率Q∈P下都是一列独立随机变量.则对任意常数yi∈R,i=1,2,…,n,和任意函数φ∈Cb(R),有其中下述泰勒展开引理是证明Choquet大数定律时的核心引理.我们将(0.1)式视为次线性期望E下的Linderberg条件.引理2.3.3假设E为次线性期望,￡为其共轭期望.假设随机变量序列{Xi}i=1∞具有有限共一阶矩且E[Xi]=μ,ε[Xi]=μ假设对任意∈>0,有则对任意单调函数φ∈C2b(R),(Ⅲ)特别的,若E[·]和ε[·]为概率测度集P上的上,下期望算子且满足则对任意单调函数φ∈C2b(R),经过上述引理的铺垫,我们引出容度下/次线性期望下的大数定律.定理2.4.1(Ellsberg型大数定律)给定一个概率测度集P,令(E,ε)分别为P上EQ生成的上,下期望.假设对任意Q∈P,{Xi}∞i=1是Q下一列独立随机变量,{Xi}i=1n具有有限共一阶矩(?)μ:=E[Xi],μ:=ε[Xi]使得假设条件(0.1)成立.记Sn:=∑ni=1Xi进一步,若则(Ⅰ)对任意单调函数φ∈Cb(R),我们有F,则对任意∈>0,定理2.4.2(次线性期望下的大数定律)假设E是一个次线性期望,￡是一个共轭期望.假设随机变量序列{Xi}∞i=1具有有限共一阶矩且E[Xi]=μ和ε[Xi]=μ.假设条件(0.1)成立.记部分和Sn:=∑ni=1Xi则有(Ⅰ)给定单调函数φ∈Cb(R),若{Xi}∞i=1是E下一列φ-卷积独立随机变量,则(Ⅱ)若对任意φ∈C+b(R),{X}∞i=1是E下一列φ-卷积独立随机变量,令v(A)：=ε[IA],VA∈(?),则对任意∈>0,类似第一章Choquet期望的结构,Ellsberg型大数定律(定理2.4.1)和次线性期望下大数定律(定理2.4.2)中的函数φ都局限于Cb(R)上的单调函数,为此我们引入次线性期望下的等价定理(定理2.4.3),将对单调φ∈Cb(R)成立的定理推广到对任意φ∈Cb(R)成立.定理2.4.3(次线性期望下的等价定理)假设E是一个次线性期望,ε是它共轭期望.对函数φ∈C+b(R),假设{Xi}∞i=1是一列φ-卷积独立的随机变量,具有有限共一阶矩且E[Xi]=μ和ε[Xi]=μ使得假设条件(0.1)成立.令Sn：=∑ni=1Xi则结论(A2)与(B2)等价.似(A2)对任意∈>0,(B2)对任意φ∈Cb(R),通过等价定理可知,Ellsberg型/E下的大数定律(Ⅰ)对任意φ∈Cb(R)都成立.表述如下.定理2.4.4假设条件同定理2.4..1.则对任意函数φ∈Cb(R),有定理2.4.5假设条件同定理2.4.2.给定任意φ∈Cb(R),若{Xi}∞i=1.是E下一列φ-卷积独立随机变量,则注2.4.6若{Xi)∞i=1的阶矩阶数大于1,即对任意常数β>1,E[|Xi|β<∞.注意到如果supi≥1E[|Xi|β]<∞,则定理2.4.5和引理2.3.3中的假设条件(0.1)都成立.所以根据Peng [32]中引理3.9的证明,定理2.4.5的条件φ∈Cb(R)就可以弱化为:连续函数φ满足增长条件|φ(x)|≤C(1+|x|β-1),去掉有界性.(Ⅲ)第叁章,次线性大数定律在模糊条件下的应用.例子3.1(带有模糊性的罐子模型)考虑有限可数个罐子,按顺序将编号记为{1,2,…}.实验者被告知第i个罐子里有100i个小球(此后100i表示100乘以i),颜色为红色或者黑色.第i个罐子里红色球的个数为25i到50i个不等.实验者不知道除此之外的任何信息.每一次只能从一个罐子里取出一个小球.记由定理2.4.4知:当实验次数足够多,n次试验中摸到红球的个数的实验均值服从如下最大分布例子3.2(期权定价模型)令{B)t≥0为概率空间(Ω,F,P)上的几何布朗运动.{St≥o是服从几何布朗运动的股票价格:dSt=μStdt+σStdBt.在非完全市场下,欧式期权的未来损益函数为φ(ST):=(ST-L)+因为上期望是eμ+σκ,下期望是eμ-σκ,由定理2.4.5知股价的分布极限如下(Ⅳ)第四章,主要研究次线性大数定律的收敛误差估计.定理4.1假设E是一个次线性期望,￡是一个共轭期望.假设随机变量序列{Xi)∞i=1具有有限共一阶矩,E[Xi]=-μ,ε[Xi]=μ.若记部分和Sn:=∑ni=1Xi则二阶矩下的大数定律收敛误差估计如下.其中μ:=|μ|∨|μ|.当阶矩条件降低至(?)supl≤i≤n E[|Xi|1+α]<∞,0<α<1,误差估计相关结果见定理4.2.
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
次线性数学期望论文参考文献
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[4].贾广岩.次线性数学期望的极小元及其相关性质[J].中国科学(A辑:数学).2009