导读:本文包含了傅立叶系数论文开题报告文献综述及选题提纲参考文献，主要关键词:尖形式,L-函数,符号变号,傅里叶系数
傅立叶系数论文文献综述
何晓光[1]（2019）在《尖形式傅立叶系数的变号问题》一文中研究指出Dirichlet定理表明,算术级数向{kq+l:K∈N(q,l)= 1]中有无穷多个素数.一个很自然的问题是,在此算术级数中最小的素数有多大,我们令P(q,l)为此算术级数中最小的素数.Linnik[29,30]首先证明了存在一个绝对常数L>0满足P(q,l)(?)qL,这里这个常数L称为Linnik常数,且此问题称为Linnik问题.随后,很多人对此常数L算出了具体数值.在数论中,有很多问题类似于Linnik问题,我们将其称之为Linnik型问题.在本文中,我们将研究一些Linnik型问题.令q ≥ 2是一个整数,χ是一个模q的Dirichlet非主特征.定义nx为满足X(n)≠0,1的最小正整数,关于nx的上界估计,我们可以看成一个Linnik型问题.当χ的取值为对应的Legendre符号时,我们称nX是一个最小的二次非剩余.最小二次非剩余的研究有接近一个世纪的时间,参考[4,37,39,56].我们把特征当成是GL(1)上的课题,然后可以考虑GL(2)(甚至GL(n))上类似的问题,作为Linnik问题的推广.这里,我们可以提出叁个关于变号的问题:·对于n≥ 2,GL(n)上的自守L-函数的系数,它的首次变号问题;·对于n ≥ 2,GL(n)上的自守L-函数的系数在长区间[1,x]上有多少符号变号;·对于n≥2,GL(n)上的自守L-函数的系数在短区间(Ux+x]上的变号问题,或者对一些特殊序列的变号问题.目前,关于上述变号问题己有丰富的研究历史,参考[23,24,34,38,40,41,51,52,57,58].在本文中,我们考虑如下叁个问题,并得到一些新结果.第一,我们考虑一般的尖形式的傅里叶系数的第一变号问题,参考定理0.1,这个问题首先是由Choie和Kohnen研究[6].第二,我们考虑GL(2)上本原尖形式的傅里叶系数在稀疏序列上的短区间的变号问题,参考定理0.2.第叁,我们考虑GL(2)上两个不同本原尖形式的傅里叶系数在短区间的同时变号问题,参考定理0.3.令Sk(N)(或snewk(N))表示在Hecke同余子群ГO(N)e SL2(Z)上权为偶数灸≥2的尖形式(或本原尖形式)空间.定义αF(n)(或λ∫(n))是F ∈Sk(N)(或f∈ Snewk(N))的第n个正规化的傅里叶系数,假设αF(n)和λ∫(n)都是实的.我们有下面的第一个主要定理.定理0.1 设N是一个无平方因子的正整数,F ∈Sk(N)是一个正规化的非零尖形式.F的第n个傅里叶系数为αF(n).对任意的ε>0,存在n1,n2满足n1,n2(?)(kN)2+ε(0.1)并有aF(n1)aF(n2)<0.接下来,我们考虑f∈S ZeW(N)正规化的傅里叶系数在稀疏序列上短区区的变号问题,并得到如下定理..定理002 设N是一个无平方因子正整数,,f ∈ Snewk(N)是一个正规化化的零本原尖形式..的第n第傅里叶系数为λ∫(n).则对于任意的13/17＜r＜1，及分大大的χχ序列列∫(nn))(n≥ 1))在n ∈((A，x++x中至少有一个变号.特别的,序列λ∫(n2))(n ≥1)在n≤x中变号》x1-r 次.我们也可考虑对于两个不同本原尖形式,它们对应的傅里叶系数在短区区同时变号问题,具体参考如下定理.定理0.3 设N是一个无平方因子正整数,,f,∈sewk(N)是两个不同的正规化的的零本原尖形式.f(或g)的第,第n傅里叶系数为λ∫(n)(或λg(n).则对于任意的13/155＜r<＜1,及充分大的x,序列λ∫(n)λg(n)(n≥ 1)在n ∈(x,x+xr]至少有一一变号.特别的,序列λ∫(n)λg(n)(n(n≥1]))在n≤xJ中变号(?)x1-r次.(本文来源于《山东大学》期刊2019-05-22）
刘欢[2]（2017）在《Γ_0（D）上模形式的傅立叶系数的指数和在算术数列中的估计》一文中研究指出在解析数论中,估计GL(2)上各类模形式的傅立叶系数是一个极其有趣的研究领域.着名的Ramanujan-Petersson猜想指出,GL(2)上任意模形式g的第n个傅立叶系数λg(n)的阶不超过nε,其中ε>0是给定的任意常数.当g是全纯尖形式时,在[5]中Deligne应用代数几何的方法证明了此猜想.当g为Eisenstein级数时,Eichler,Shimura,Ihara借助表示论的理论对上述猜想进行了研究并证明了该猜想(参见[6],[33],[16],[17]等).当g是一般的Maass尖形式时,此猜想还未被证明.但是Rankin-Selberg理论表明该猜想在平均的意义下是成立的.在[8]中Good证明了当g为SL(2,Z)上的全纯或Maass尖形式时,n<X比较这个结果与Ramanujan-Petersson猜想可以发现λg(n)的取值随着n的增大会有很大的震荡.为了研究λs(n)的震荡性,数学家们经常会考虑如下形式的指数和其中0 ≠ α ∈ R,β>0,X ≥ 1是一个大的参数且g为r0(D)上的尖形式.对于D = 1(即g为SL(2,Z)上的尖形式),许多数学家得到了有趣的结果.例如,Hafner[11]和Miller-Schmid[30]考虑了和式(0.1)为线性指数和的情况(即β = 1),并证明了对任意α ∈ R,和式(0.1)有一致上界X1/2+ε.Ren-Ye[37]和Sun-Wu[34]则考虑了和式(0.1)为非线性指数和的情况,并证明了当0<β<1且β ≠ 1/2时,和式(0.1)有一个大小为Oα(Xmax{β,1/2-β/4}+ε)的上界;当β=1/2并且α接近(其中q ≤X/4)时,和式(0.1)有一个大小为|λg(q)|q-1/4|X3/4的主项.他们的结果是受文章[20]启发而得到的.在[20]中,Iwaniec,Luo 和 Sanark 首次考虑了当= 1/2,α =-2 q∈ N 时和式(0.1)的渐近公式.对于D>1,在[13]中Harcos指出当β = 1时,对于任意α ∈ R和式(0.1)有一致上界O((DX)1/2+ε).但是目前还没有人证明任何和式(0.1)的渐近结果.在本文中,我们将考虑更一般的与尖形式的傅里叶系数有关的指数和.假设g是阶为正整数D,nebentypus为χD(n)的本原新形式(primitive newform),我们估计如下形式的和其中0≠α∈R,0<β<1,l和N为互素的正整数,(D,N)= 1或D不含平方因子.特别地,当N = 1时,和式(0.2)变成(0.1).根据g为Maass尖形式或者全纯尖形式,我们分别得到如下两个定理.定理1设N2D≤X1-ε,g是权为0,拉普拉斯算子特征值为v2 + 1/4 Maass的尖形式,0>0为使得λg(n)<<nθ(其中n≠0)成立的最小实数.(1)如果,那么我们有如果则(i)对β≠1/2,我们有(ii)对β = 1/2,若 |α| ≥ D-1N-3/2X1/2,那么我们有若D-1/2N-1≤|α|<D-1N-3/2X1/2,那么我们有SD(N,α,1/2,X)上式中cα为常数,c0 = 1 +i,D2 =D/(c,D).根据|n0-|α|2c2D2/4|≤X-ε 是否成立,δc的值为1或者0,其中n0 = n0(c)是距离(|α|c)2D2/4最近的正整数.这里ηg(D2)和gD3的定义见(2.10),的定义见(3.8),ε(α,n0,c,D2,X)的定义见(3.28).特别地,若,其中正整数q ≤ X/(4DN3),那么我们有这里.定理2在定理1中,若我们将g换为权为κ的全纯尖形式,条件N2D ≤ X1-ε换为N2D<X,则将常数cα换为常数cα,κ,θ换为ε,<<v,ε和Ov,ε分别换为<<κ,ε和 Oκ,ε 后,(0.3),(0.4),(0.5),(0.6),(0.7)中的结论仍成立.当D = N = 1时,定理1包含了 Ren和Ye在[37]中的结果,定理2包含了 Sun和Wu在[34]中的结果.当X充分大,β = 1/2且α接近时,定理1和定理2给出了和式SD(N,α,β,X)的渐近公式.这是有关Γ0(D)(D>1)上尖形式的傅立叶系数的指数和的第一个渐近结果.我们也关心r0(D)上Eisenstein级数的傅里叶系数的震荡性.对于SL(2,Z)(即 D = 1)上的权为 0 的 Eisenstein 级数 E(z,s),Hardy[14]和Uchiyama[38]曾经分别考虑过E'(z,s)|s=1/2的傅里叶系数的指数和在自然数列和算术数列中的估计.他们证明了当β = 1/2,α为某些特殊值时,所考虑的指数和都有渐近公式.在本文我们将考虑D>1的情况.假设是拉普拉斯算子特征值为1/4,权为0,阶为D = D'D" ≥ 2(其中(D',D")= 1),nebentypus为原特征χD=χD'χD"的非全纯Eisenstein级数,其第n个傅里叶系数我们估计下面的指数和其中0≠α∈R,0 ＜ β<1,l,N为互素的正整数,N2D≤X1-ε.定理3在定理1中,若我们将SD(N,α,β,X)换为UχD',χD"(N,α,β,X),则将θ换为ε,<<v,ε和Ov,ε分别换为<<ε和Oε,ηg(D2)和gD2的定义分别换为(2.12)和(2.13),并将所有《右边的上界估计和所有渐近公式中O-项中的多项式都加上一项 N-1+εD1/2+ε(|α|βχβ)-1X 后,(0.3),(0.4),(0.5),(0.6),(0.7)中的结论仍成立.当X充分大,β=1/2且α接近时,和式UχD',χD"(N,α,β,X)有渐近公式.这是有关r0(D)(D>1)上Eisenstein级数的傅立叶系数的指数和的第一个渐近结果.证明上面叁个定理的主要工具为Voronoi求和公式和固定相积分估计.在应用Voronoi求和公式时,我们需要先将截断和变成光滑和,即引入定义在[X,2X]上的光滑权函数.因此证明定理1和定理2的主要过程为研究如下形式的指数和其中Φ(x)是一个定义在区间[1,2]上的光滑函数,α,β,g,l,N均是(0.2)中定义的参量.对于= 1/2且α接近的情况,和式(0.9)有渐近公式;对于其他0<β<1,α∈R的情况,和式(0.9)有非平凡上界.特别地,当且β≠1/2时,和式(0.9)有上界但是对于一些特殊的α和β,我们可以改进结果(0.10)从而得到下面的两个定理.定理4设1 ≤ D ≤ X1-εg为r0(D)上的全纯或Maass本原新形式,2 ≤ s ∈ N且Φ(x)为定义在区间[1,2]上使得φ(r)(x)<<1对任意r ≥ 0都成立的光滑函数.当|α|2s-1为有理数,记的分数部分为αa/q,其中(α,q)=1,α ∈ Z.若q满足q2<<|α|2-εX1/(2s-1)-ε,则我们有定理5设N≤ X1-ε,g为SL(2,Z)上的全纯或Maass尖形式且Φ(x)为定理4中描述中的函数.那么对于任意0≠ α ∈ R,我们有比较定理4,5与定理1,2中的结果,可以发现定理4,5改进了定理1,2中相应的结果.证明定理4和5的主要想法是将关于λg(n)的β次指数和通过积分相位变换转变为λg(n)的β/(2β-1)次指数和来估计.这里我们想指出的是,对于去权的指数和(即和式(0.2))我们并不能得到类似于定理4,5中的结果,这是因为去权的过程会产生较大的误差项.(本文来源于《山东大学》期刊2017-05-20）
姚翠[3]（2017）在《Maass尖形式的傅立叶系数在素变数指数和中的均值》一文中研究指出关于Maass尖形式的傅立叶系数问题吸引了很多学者的关注并且得到了广泛的研究[9,21].本文利用自守L-函数的零点密度估计,Abel分部求和公式,Vaughan恒等式,指数和估计等方法,我们研究了 Maass尖形式的傅立叶系数在素变数指数和中的均值,在Ramanujan-Petersson猜想成立和猜想不成立时分两种情况讨论,这丰富了关于傅立叶系数性质的结果.设f(z)为完全模群SL(2,Z)上的具有拉普拉斯特征值1/4+r2的Maass尖形式,则f(z)在尖点∞处的傅立叶展开式为f(z)=2(?)af(n)Kir(2π|n|y)e(nx),其中Kir为K-Bessel函数且af(n)表示其第n个标准化的傅立叶系数.当σ =(?)s > 1时,我们定义关于f(z)的Hecke L-函数为(1.1) L(f, s) =(?)αf(n)n-s=(?)(1-αf(p)p-s)-1(1 - βf(p)p-s)-1,这里的αf(p)和β∫(p)为在p的局部根且αf(p)+βf(p) = af(p), αf(p)βf(p) = 1.对于Maass尖形式来说,我们还不知道广义的Ramanujan-Petersson猜想是否成立,即是否对任意的ε > 0,都有af(n)<<nε成立.目前最好的结果是由Kim和Sarnak[1]得到的,即αf(n)<<n1/64+ε.由局部根αf(p)和βf(p),我们可以得到(1.2) αf(pk)=(?)αf(pk-j)βf(pj),(?)为了方便后面的计算,我们可以将上式改写为为了将L(f,s)与素数联系起来,我们在L(f,s)表达式中取对数可得本文中我们定义μ(n,f)为L(f,s)-1的第n个系数,联合f(z)的傅立叶系数我们可以得到(1.4) L(f,s)-1=(?)μ(n,f)n-8,(1.5) μ(n,f)=(?)μ(s)μ2(st)αf(s).1985年,Vinogradov[2]首次研究了S(x) =(?)Λ(n)e(α(?)),这里的A(n)为Mangoldt函数,他证明了S(x) << x7/8+ε.在此基础之上,很多学者对其结果进行了改进[5,6],本文中我们也推广了Λ(n)指数求和问题,即研究Maass尖形式对应的L-函数对数导数的系数Λ(n,f)与特征e(α(？))(其中α ≥ 0 )乘积的均值估计,即Sf(x)=(?)Λ(n,f)e(α(?)), x≥2.(?)易知Sf(x)=(?)αf(p)logp e(α(?)) + O(x1/2logx).目前我们并不知道Maass尖形式对应的Ramanujan-Petersson猜想是否成立,所以本文中我们分别在猜想成立和猜想不成立时进行了讨论,在猜想不成立的情况下,结果稍微差一些,这是因为在猜想成立的情况下,我们能够运用(3.7)式,而在猜想不成立情况下,我们无法运用(3.7)式,这使得Maass尖形式的傅立叶系数在素变数指数和中的均值估计更加困难.当 Ramannujan-Petersson 猜想成立时:定理1 当α > 0,x ≥ 2时,对任意小的ε > 0,我们有Sf(x) =(?)Λ(n,f)e(α(?)) <<x5/6+ε,这里隐含的常数依赖于α及尖形式f.当Ramanujan-Petersson猜想不成立时:定理2 当0 < α < x-17/36, x≥ 2时,对任意小的ε > 0,我们有Sf(x)=(?)Λ(n,f)e(α(?))《x17/18+ε这里隐含的常数依赖于α及尖形式f.(本文来源于《山东师范大学》期刊2017-04-10）
潘赟[4]（2015）在《计算机中周期信号谐波振幅的离散傅立叶系数仿真》一文中研究指出周期信号在许多场合有实际应用,当周期信号满足狄里赫利条件时可以展开成傅立叶级数,通常采用级数的展开系数表示该信号的谐波振幅,这是本科数字信号处理课程的教学内容之一。对于只有数学期望已知的周期信号采用傅立叶系数表示,不易求解,一般采用计算机计算。本文提出了利用离散傅立叶系数分析谐波振幅的方法,并运用这种方法对实际电路的谐波振幅进行Matlab数值分析。实验结果验证了数值分析的结论。(本文来源于《信息技术与信息化》期刊2015年09期）
许强,马登武[5]（2014）在《基于傅立叶描述子主要系数的轮廓分类树》一文中研究指出针对物体轮廓分类准确性和实时性的要求,提出了一种新的基于傅立叶描述子主要系数的分类树构造方法。首先构建梯度递增决策树(GBDT)模型对轮廓傅立叶描述子进行特征选择,得到其主要系数;然后利用主要系数构建分类和回归树(CART)模型对轮廓分类。实验表明,在保证较高分类准确率的情况下,此分类方法平均耗时仅为0.03 s。(本文来源于《计算机应用》期刊2014年S1期）
吴远莹[6]（2014）在《与SL（n，Z）上Maass尖形式的傅立叶系数有关的指数和的估计及相关结果》一文中研究指出在解析数论中SL(n, Z)上尖形式的傅立叶系数的性质是个非常重要的研究课题,着名的Ramanujan-Petersson猜想仍然是个没有解决的问题.这个猜想是说任何一个尖形式的第n个傅立叶系数的上界都不会超过nε,其中￡>0是任意小的数.对于SL(2，Z)上的全纯尖形式,1974年Deligne把这个猜想当做Weil猜想的一个推论给出了证明([5]).但是对于SL(2,Z)上其它的尖形式以及SL(n,Z)(n≥3)上的尖形式,这个问题仍然没有解决.但是从这些傅立叶系数的平均取值来看,Ramanuj an-Petersson猜想是成立的.例如,设f是SL(2,Z)上的Maass尖形式,则有下面的估计([10])：其中λf(n)是SL(2,Z)上尖形式f正规化后的傅立叶系数.这表明尖形式的傅立叶系数具有很强的振荡性.因此虽然对单个傅立叶系数还不能证明猜想的一致上界,但是它们的均值却往往有很好的上界估计.这些均值估计有很好的应用并且通过均值估计可以对傅立叶系数有更深刻地理解.最近任和叶在文章[26]中考虑了形如的指数和估计,其中λf(n)是SL(2,Z)上权为k的全纯尖形式正规化后的傅立叶系数,证明了当β≠1/2时此指数和上界为并且在β=1/2而且|α|接近于2√q(q是正整数)时有渐近公式.对于f(n)是SL(2.Z)上Maass尖形式的情形,文章[26]中没有给出估计.在本文中,我们将首先考虑这个问题,即估计如下形式的指数和：其中e(z)=e2πiz,λg(n)是SL(2,z)上特征值为1/4+r2的Maass尖形式正规化后的傅立叶系数.我们的主要结果如下：定理1.1设X>1,0<β<1.如果|α|βXβ<√X/2,则有估计如果|α｜βXβ≥√X/2,则有其中εα,q=1或0取决于是否存在整数q满足||α|-2√q|≤X-1/2且1≤|α|<√X.上式中特别地,对于任意的整数1≤q<X/4,我们有我们注意到,此定理中第一种情况的上界为X71/192+ε,这里71/192是由单个傅立叶系数的上界得到的.我们知道对于全纯的尖形式,Ramanujan-Petersson猜想是成立的,即对任意的ε>0,有λf(n)《nε.但是对于Maass尖形式,我们所知道的最好的上界是([18])λg(n)≤n7/64+ε,定理1.1的71/192即由此上界得到.如果Maass尖形式的Ramanuj an-Petersson猜想成立,则我们可以得到跟全纯尖形式一样好的上界.定理1.1的证明方法与[26]中证明全纯尖形式的方法类似.所用到的主要工具为Voronoi公式,以及贝塞尔函数的渐近展开等.通过定理1.1的证明方法我们发现,对于有类似的Voronoi公式的其它算术函数,我们也可以考虑有关的指数函数和的估计,并证明类似地结果.在本文中我们考虑了除数函数τ(n)以及算术函数给出下面两个定理：定理1.2如果|α|βXβ<√X/2,则有如果|α|βXβ≥√X/2,则有其中ε,αq和d(α,q)如定理1.1中所定义.特别地,对任意的整数1≤q<X/4,我们有定理1.3如果|α|βXβ<√X/2,则有如果"|α|βXβ≥√X/2，则有其中εα,q*＝1或0取决于是否存在q满足｜α｜-/q｜≤√X-1/2且1≤｜α｜<√X/4。特别地,对于整数1≤q<X/16,我们有利用证明定理1.2和定理1.3的估计方法,我们发现于全纯的尖形式,我们可以将文[26]中的结果进行改进,即有如下定理：定理1.4假设f(z)是SL(2,Z)上权为k的全纯尖形式,Af(n)是f(z)的n阶傅立叶系数.如果|α|βXβ<√X/2,则有如果｜｜αβXβ≥√X/2,则当β≠1/2时,有与[26]中的结果相比较,在定理1.4中我们把上界由改进到了X1/3+ε本文的第二部分内容将考虑SL(3,Z)上的Maass形式f的傅立叶系数Af(m,n)有关的如下加权指数和：其中Φ(x)是光滑紧支函数,支集为[1/4,5/4]上,在区间[1/2,1]上恒为1,并且导数满足：对这个问题,任和叶[28]证明了当0.时,这里隐含的常数依赖于f,A和β的.利用文[28]中的方法并结合Pitt([25])的方法,我们将证明如下定理：定理1.5设f是SL(3,Z)上的Maass尖形式,Af(m,n)为f的傅立叶系数,X>9.如果则对任意大的A和任意小的ε>0,我们有这里隐含的常数仅依赖于f,A和ε定理1.5的证明需要用SL(3,Z)上的Voronoi公式及其渐近展开以及δ符号的性质等.本文第一章将简单介绍SL(2,Z)以及SL(3,Z)上Maass形式及其傅立叶系数,并给出我们的主要结果.第二章将给出定理1.2-1.4的证明,第叁章将给出定理1.5的证明.(本文来源于《山东大学》期刊2014-05-06）
刘奎[7]（2012）在《一类Zeta函数的均值与含有尖形式傅立叶系数的的指数和估计》一文中研究指出在本文的第一章,我们考虑了如下形式的Zeta函数其中α,β为给定的有理数,满足0<α<β且我们证明了ζα,β(s)可以解析延拓到(?)s>1/3并得到如下均值结果：定理1.2.令T≥2且s=σ+it,则对任意1/2<σ<1,一定存在正常数ε(σ)>0,使得一个叁维数组(a,b,c)∈N3,如果满足a2+b2=c2,a<b且gcd(a,b,c)=1,那么我们称之为一个原直角叁角形.对x>2,令P(x)为周长不超过x的原直角叁角形的个数.作为定理1.2的一个应用,我们得到定理1.3.在Riemann假设下,对x≥2以及任意E>0,有这改进了[18]中余项的指数(?).在本文的第二章,我们考虑了含有尖形式傅立叶系数的指数和.令f(z)为一个SL2(Z)上的权为k的全纯尖形式,则.f(z)有如下傅立叶展开式其中e(z)=e2πiz.类似的,令u(z)为一个SL2(Z)上具有Laplace特征值1/4+r2的Maass尖形式,则u(z)有如下傅立叶展开式这里K为K-Besscl函数.在[26]中,Pitt考虑了含有傅立叶系数a(n)的指数和并且证明了,对任意的ε>0,有对α,β∈R一致成立,其中《中的隐含常数仅与ε和尖形式f有关.本文我们改进了Pitt的结果,证明了如下结论.定理2.1.令X≥2,且a(n)由(2.1)或(2.2)给出,则对任意E>0我们有对α,β∈R一致成立,且《中的隐含常数仅与ε以及(2.1)或(2.2)中的尖形式f有关.(本文来源于《山东大学》期刊2012-05-10）
吴建良,汤文,孙立军[8]（2011）在《基于傅立叶级数解的导温系数现场测定》一文中研究指出将路面温度场抽象为1维瞬态热传导方程,由分离变量法导出满足方程的傅立叶级数,推导出在已知界面温度时确定1维层状体瞬态温度分布的解答.基于路面温度场实测数据,提出用牛顿法反算路面材料导温系数的方法.在路面降温过程中路面温度沿深度单调变化时,傅立叶级数解取50项就能够达到0.01℃的精度.实测数据分析结果表明:路面沥青层中上部导温系数较下部稍大,中面层AC-16导温系数为0.002 4m2.h-1,底面层AC-25为0.001 6m2.h-1,比大多实验室测定值低.(本文来源于《同济大学学报(自然科学版)》期刊2011年10期）
林珍连[9]（2011）在《单位圆盘到自身的调和映照的傅立叶系数估计(英文)》一文中研究指出利用函数论的一般方法给出单位圆盘到自身的调和映照的傅立叶系数的界限,改进并推广了P.Duren和王晓英的相关结果.(本文来源于《数学研究》期刊2011年01期）
余堃,胡衡,N.Damil,M.Potier-Ferry[10]（2010）在《用慢变傅立叶系数法研究失稳现象》一文中研究指出本文通过分析非线性文克尔地基梁在压应力作用下发生屈曲褶皱现象时的失稳模式、临界载荷以及褶皱幅度等参数,深入研究了新近提出的慢变傅里叶系数法在解决具有近似周期性变化特性的稳定性问题时的计算效率及应用局限.(本文来源于《固体力学学报》期刊2010年S1期）
傅立叶系数论文开题报告
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
在解析数论中,估计GL(2)上各类模形式的傅立叶系数是一个极其有趣的研究领域.着名的Ramanujan-Petersson猜想指出,GL(2)上任意模形式g的第n个傅立叶系数λg(n)的阶不超过nε,其中ε>0是给定的任意常数.当g是全纯尖形式时,在[5]中Deligne应用代数几何的方法证明了此猜想.当g为Eisenstein级数时,Eichler,Shimura,Ihara借助表示论的理论对上述猜想进行了研究并证明了该猜想(参见[6],[33],[16],[17]等).当g是一般的Maass尖形式时,此猜想还未被证明.但是Rankin-Selberg理论表明该猜想在平均的意义下是成立的.在[8]中Good证明了当g为SL(2,Z)上的全纯或Maass尖形式时,n<X比较这个结果与Ramanujan-Petersson猜想可以发现λg(n)的取值随着n的增大会有很大的震荡.为了研究λs(n)的震荡性,数学家们经常会考虑如下形式的指数和其中0 ≠ α ∈ R,β>0,X ≥ 1是一个大的参数且g为r0(D)上的尖形式.对于D = 1(即g为SL(2,Z)上的尖形式),许多数学家得到了有趣的结果.例如,Hafner[11]和Miller-Schmid[30]考虑了和式(0.1)为线性指数和的情况(即β = 1),并证明了对任意α ∈ R,和式(0.1)有一致上界X1/2+ε.Ren-Ye[37]和Sun-Wu[34]则考虑了和式(0.1)为非线性指数和的情况,并证明了当0<β<1且β ≠ 1/2时,和式(0.1)有一个大小为Oα(Xmax{β,1/2-β/4}+ε)的上界;当β=1/2并且α接近(其中q ≤X/4)时,和式(0.1)有一个大小为|λg(q)|q-1/4|X3/4的主项.他们的结果是受文章[20]启发而得到的.在[20]中,Iwaniec,Luo 和 Sanark 首次考虑了当= 1/2,α =-2 q∈ N 时和式(0.1)的渐近公式.对于D>1,在[13]中Harcos指出当β = 1时,对于任意α ∈ R和式(0.1)有一致上界O((DX)1/2+ε).但是目前还没有人证明任何和式(0.1)的渐近结果.在本文中,我们将考虑更一般的与尖形式的傅里叶系数有关的指数和.假设g是阶为正整数D,nebentypus为χD(n)的本原新形式(primitive newform),我们估计如下形式的和其中0≠α∈R,0<β<1,l和N为互素的正整数,(D,N)= 1或D不含平方因子.特别地,当N = 1时,和式(0.2)变成(0.1).根据g为Maass尖形式或者全纯尖形式,我们分别得到如下两个定理.定理1设N2D≤X1-ε,g是权为0,拉普拉斯算子特征值为v2 + 1/4 Maass的尖形式,0>0为使得λg(n)<<nθ(其中n≠0)成立的最小实数.(1)如果,那么我们有如果则(i)对β≠1/2,我们有(ii)对β = 1/2,若 |α| ≥ D-1N-3/2X1/2,那么我们有若D-1/2N-1≤|α|<D-1N-3/2X1/2,那么我们有SD(N,α,1/2,X)上式中cα为常数,c0 = 1 +i,D2 =D/(c,D).根据|n0-|α|2c2D2/4|≤X-ε 是否成立,δc的值为1或者0,其中n0 = n0(c)是距离(|α|c)2D2/4最近的正整数.这里ηg(D2)和gD3的定义见(2.10),的定义见(3.8),ε(α,n0,c,D2,X)的定义见(3.28).特别地,若,其中正整数q ≤ X/(4DN3),那么我们有这里.定理2在定理1中,若我们将g换为权为κ的全纯尖形式,条件N2D ≤ X1-ε换为N2D<X,则将常数cα换为常数cα,κ,θ换为ε,<<v,ε和Ov,ε分别换为<<κ,ε和 Oκ,ε 后,(0.3),(0.4),(0.5),(0.6),(0.7)中的结论仍成立.当D = N = 1时,定理1包含了 Ren和Ye在[37]中的结果,定理2包含了 Sun和Wu在[34]中的结果.当X充分大,β = 1/2且α接近时,定理1和定理2给出了和式SD(N,α,β,X)的渐近公式.这是有关Γ0(D)(D>1)上尖形式的傅立叶系数的指数和的第一个渐近结果.我们也关心r0(D)上Eisenstein级数的傅里叶系数的震荡性.对于SL(2,Z)(即 D = 1)上的权为 0 的 Eisenstein 级数 E(z,s),Hardy[14]和Uchiyama[38]曾经分别考虑过E'(z,s)|s=1/2的傅里叶系数的指数和在自然数列和算术数列中的估计.他们证明了当β = 1/2,α为某些特殊值时,所考虑的指数和都有渐近公式.在本文我们将考虑D>1的情况.假设是拉普拉斯算子特征值为1/4,权为0,阶为D = D'D" ≥ 2(其中(D',D")= 1),nebentypus为原特征χD=χD'χD"的非全纯Eisenstein级数,其第n个傅里叶系数我们估计下面的指数和其中0≠α∈R,0 ＜ β<1,l,N为互素的正整数,N2D≤X1-ε.定理3在定理1中,若我们将SD(N,α,β,X)换为UχD',χD"(N,α,β,X),则将θ换为ε,<<v,ε和Ov,ε分别换为<<ε和Oε,ηg(D2)和gD2的定义分别换为(2.12)和(2.13),并将所有《右边的上界估计和所有渐近公式中O-项中的多项式都加上一项 N-1+εD1/2+ε(|α|βχβ)-1X 后,(0.3),(0.4),(0.5),(0.6),(0.7)中的结论仍成立.当X充分大,β=1/2且α接近时,和式UχD',χD"(N,α,β,X)有渐近公式.这是有关r0(D)(D>1)上Eisenstein级数的傅立叶系数的指数和的第一个渐近结果.证明上面叁个定理的主要工具为Voronoi求和公式和固定相积分估计.在应用Voronoi求和公式时,我们需要先将截断和变成光滑和,即引入定义在[X,2X]上的光滑权函数.因此证明定理1和定理2的主要过程为研究如下形式的指数和其中Φ(x)是一个定义在区间[1,2]上的光滑函数,α,β,g,l,N均是(0.2)中定义的参量.对于= 1/2且α接近的情况,和式(0.9)有渐近公式;对于其他0<β<1,α∈R的情况,和式(0.9)有非平凡上界.特别地,当且β≠1/2时,和式(0.9)有上界但是对于一些特殊的α和β,我们可以改进结果(0.10)从而得到下面的两个定理.定理4设1 ≤ D ≤ X1-εg为r0(D)上的全纯或Maass本原新形式,2 ≤ s ∈ N且Φ(x)为定义在区间[1,2]上使得φ(r)(x)<<1对任意r ≥ 0都成立的光滑函数.当|α|2s-1为有理数,记的分数部分为αa/q,其中(α,q)=1,α ∈ Z.若q满足q2<<|α|2-εX1/(2s-1)-ε,则我们有定理5设N≤ X1-ε,g为SL(2,Z)上的全纯或Maass尖形式且Φ(x)为定理4中描述中的函数.那么对于任意0≠ α ∈ R,我们有比较定理4,5与定理1,2中的结果,可以发现定理4,5改进了定理1,2中相应的结果.证明定理4和5的主要想法是将关于λg(n)的β次指数和通过积分相位变换转变为λg(n)的β/(2β-1)次指数和来估计.这里我们想指出的是,对于去权的指数和(即和式(0.2))我们并不能得到类似于定理4,5中的结果,这是因为去权的过程会产生较大的误差项.
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
傅立叶系数论文参考文献
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