——◎赏正福/甘肃省临夏县莲花学区——
〔摘要〕函数作为一种数学工具，在整个中学阶段的学习中有着举足轻重的作用。初中阶段是函数学习的初级阶段。对于初中生而言，两个函数图像的交点问题是一个难点，也是一个常考的知识点。它可以出现在各种题型中，如选择题、填空题、解答题中，而且，它几乎可以和初中所有的代数学知识综合在一起考查。因此，熟练掌握函数图像交点的规律是很有必要的。
〔关键词〕函数正比例函数反比例函数
函数作为一种数学工具，在整个中学阶段的学习中有着举足轻重的作用。初中阶段是函数学习的初级阶段。对于初中生而言，两个函数图像的交点问题是一个难点，也是一个常考的知识点。它可以出现在各种题型中，如选择题、填空题、解答题中，而且，它几乎可以和初中所有的代数学知识综合在一起考查。因此，熟练掌握函数图像交点的规律是很有必要的。
为此，笔者结合自己的学习体会和几年的教学体验，对正比例函数和反比例函数图像的交点问题做一点总结和分析。很显然，正比例函数和反比例函数图像的交点有两种情况：一是有两个交点，一是没有交点。对于无交点的情况，在此不再赘述。通过分析和总结，对于两个交点的问题形成一个结论。
命题：如果正比例函数y=k1x和反比例函数y=■的图像有两个交点，那么这两个交点关于原点对称。
验证1：如图，正比例函数y=2x和反比例函数y=■的图像交于A、B两点，则A、B关于原点对称。
分析：根据函数图像交点的求解方法，
可得2x=■
解得x=±1
当x=1时，y=2；
当x=-1时，y=-2
所以A(1,2)、B(-1,-2)，发现A、B关于原点对称。
验证2：如图，正比例函数y=-3x和反比例函数y=-■的图像交于A、B两点，则A、B关于原点对称。
分析：根据函数图像交点的求解方法，
可得－３x=-■
解得x=±2
当x=2时，y=-6；
当x=-2时，y=6
所以A(-2,6)、B(2,-6)，发现A、B关于原点对称。
证明：如图，设正比例函数为y=k1x，反比例函数为y=■，两图像交点为A、B。则根据函数图像交点的求解方法可得：
k1x=■
所以k1x2=k2
解得x=±■=±■
当x=■时，y=■；
当x=-■时，y=-■
所以A（■，■）、B（-■，-■）
很显然，A、B两点关于原点对称。
应用：例1、正比例函数y=kx和反比例函数y=■的图像交于点P（-2，3），则另一个交点坐标是。
分析：根据上述命题即可得另一交点Q（2，-3）。
例2、已知反比例函数y=■（k＞0），正比例函数和反比例函数y=kx（k＞0）。直线与双曲线y=■交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2），则2x1y2-7x2y1的值是多少？
解：由题意得xy=4
根据上述命题易知，
所以2x1y2-7x2y1＝－2x1y１＋7x１y1
＝5x1y１
＝5×4
＝20
即2x1y2-7x2y1＝20
综上所述，关于正比例函数和反比例函数的图像交点的相关问题，利用上述命题就可以很轻松的解决，给我们的学习带来了一定的方便。