李旭良广东省北江实验学校512026
摘要：以三角板为载体，辅之以重叠、平移、旋转等变换手段构造的中考数学题，较好地考查了学生观察、实验、比较、联想、类比、归纳的能力以及运动变化、分类讨论思想等的综合运用能力。我们可以从有关角、线段、操作、面积、函数等分类来进行欣赏。
关键词：一副三角板中考数学题赏析
三角板是学生最常用的学习工具之一，城乡的学生都在使用。三角形则是初中几何最重要、最基本的知识之一，是学生常见熟悉的几何图形。以三角板作为数学背景的中考试题贴近学生的学习环境，具有公平性，符合新课标“数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，体现基础性、普及性和发展性”的理念。以三角板为载体，辅之以重叠、平移、旋转等变换手段构造的问题，蕴含着深厚的数学知识，能为学生提供动手实践操作设计的空间，较好地考查学生观察、实验、比较、联想、类比、归纳的能力以及运动变化、分类讨论思想等的综合运用能力，能较好体现学生分析问题、解决问题的能力，培养学生的探究习惯和创新精神，成为数学中考中一道亮丽的风景。本文就近年来中考试题中以一副三角板为背景材料的题为例，进行了分类赏析。
一、有关角的问题
例1.（2012漳州市）将一副直角三角板按如图1所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（）。
A．45°B．60°C．75°D．90°
解析：答案C。
点评：本题考查了三角形的外角性质和直角三角形的性质。在进行图形的有关计算时，要求学生具备基本的转化能力；除了要能运用所学的知识外，还要能从生活中的常见图形捕捉求解信息。
例2.（2011龙岩市）一副直角三角板叠放如图2所示，现将含45°角的三角板ADE固定不动，把含30°角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转∠α（∠α=∠BAD且0°<α<180°），使两块三角板至少有一组边平行。
(1)如图①，∠α=______°时，BC∥DE。
(2)请你分别在图②、图③的指定框内，各画一种符合要求的图形，标出α，并完成各项填空：
图②中∠α=______°时，______∥______；图③中∠α=_____°时，_____∥_____。
解析：(1)15；(2)图②中∠α=60°时，BC∥DA，图③中∠α=105°时，BC∥EA。
点评：本题考察了平行线的性质、旋转角的概念。同样是一副三角板叠放，以独特视角呈现和考查，重视学生的基础知识和动手操作的能力，只要操作演示就可应答。
二、有关线段的问题
例3.（2012鄂州市）小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板如图3位置摆放，A、B、D在同一直线上，EF∥AD，∠CAB=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°，量得DE=8，试求BD的长。
解析：如图4，过点F作FH⊥AB于点H。在Rt△DEF中，∠EDF=90°，∠E=60°，DE=8，∴∠DFE=30°，DF=DE·tan∠E=8tan60°=83。∵EF∥AD，∴∠FDH=∠DFE=30°。在Rt△FDH中，FH=DF=43，HD=43·3=12。
又∵∠BHF=90°，∠C=45°，∴HB=FH=43。∴BD=HD-HB=12-43。
点评：本题考查了解直角三角形的应用、锐角三角函数定义、特殊角的三角函数值。构造直角三角形解题是本题的亮点。
例4.（2012年山西省）问题情境：将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图5所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由。
探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：
解：OM=ON，证明如下：连接CO，则CO是AB边上中线。
∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分线。（依据1）
∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON。（依据2）
反思交流：(1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：______。依据2：_____。
(2)你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过拓展延伸：(3)将图5中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图6所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程。
解析：(1)解：等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）；角平分线上的点到角的两边距离相等。
(2)证明：∵CA=CB，∴∠A=∠B。∵O是AB的中点，∴OA=OB。∵DF⊥AC，DE⊥BC，∴∠AMO=∠BNO=90°。∵在△OMA和△ONB中，∠A=∠B，OA=OB，∠AMO=∠BNO，∴△OMA≌△ONB（AAS）。∴OM=ON。
(3)解：OM=ON，OM⊥ON。理由如下：连接CO，如图7，则CO是AB边上的中线。∵∠ACB=90°，∴OC=AB=OB。
又∵CA=CB，∴∠CAB=∠B=45∠1=∠2=45°，∠AOC=∠BOC=90°，∴∠2=∠B。∵BN⊥DE，∴∠BND=90°。
又∵∠B=45°，∴∠3=45°。∴∠3=∠B，∴DN=NB。∵∠ACB=90°，∴∠NCM=90°。
又∵BN⊥DE，∴∠DNC=90°，∴四边形DMCN是矩形，∴DN=MC，∴MC=NB，∴△MOC≌△NOB(SAS)，∴OM=ON，∠MOC=∠NOB。∴∠MOC-∠CON=∠NOB-∠CON，即∠MON=∠BOC=90°。
∴OM⊥ON。
点评：本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，综合性较强。两块简单的三角板拼在一起，问题不再简单。
三、有关面积的问题
例5.（2010年淄博市）将一副三角尺如图8拼接，含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合。已知AB=23，P是AC上的一个动点。
(1)当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长。
(2)当点P在运动过程中出现PD＝BC时，求此时∠PDA的度数。
(3)当点P运动到什么位置时，以D、P、B、Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时平行四边形DPBQ的面积。
解析：在Rt△ABC中，AB=23，∠BAC＝30°，∴BC=3，AC=3。
(1)如图9，作DF⊥AC。∵Rt△ACD中，AD＝CD，∴DF＝AF＝CF＝。
∵BP平分∠ABC，∴∠PBC＝30°，∴CP＝BC·tan30°＝1，∴PF＝。
∴DP=PF2+DF2=。
(2)当P点位置如图10所示时，根据(1)中结论，DF=，∠ADF＝45°。
又PD=BC=3，∴cos∠PDF==，∴∠PDF＝30°。
∴∠PDA＝∠ADF－∠PDF＝15°。
当P点位置如图11所示时，同(2)可得∠PDF＝30°；∴∠PDA＝∠ADF＋∠PDF＝75°。
(3)CP=。在平行四边形DPBQ中，BC∥DP，∵∠ACB＝90°，∴DP⊥AC。根据(1)中结论可知，DP=CP=，∴S=DP·CP=。
点评：本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形的应用、特殊角度三角函数值、平行四边形的判定和性质、分类讨论思想。“在平凡处见真功夫”是本题最大的特点,问题伊始的背景极为简单，但点P在线段AC上运动，使问题多元化而丰富。
四、有关函数的问题
例6.（2011年绍兴市）抛物线y=-（x-1）2+3与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C。
(1)如图13，求点A的坐标及线段OC的长。
(2)点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连接BQ。
①若含45°角的直角三角板如图14所示放置，其中，一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，求直线BQ的函数解析式。
②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上，另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标。
解析：（1）把x=0代入抛物线得：y=，∴点A（0，）。
抛物线的对称轴为x=1，∴OC=1。
(2)①如图：B（1，3）。分别过点D作DM⊥x轴于M，DN⊥PQ于点N，∵PQ∥BC，∴∠DMQ=∠DNQ=∠MQN=90°，∴DMQN是矩形。
∵△CDE是等腰直角三角形，∴DC=DE，∠CDM=∠EDN。∴△CDM≌△EDN。
∴DM=DN，∴DMQN是正方形，∴∠BQC=45°，∴CQ=CB=3，∴Q（4，0）。
设BQ的解析式为y=kx+b，把B（1，3）、Q（4，0）代入解析式得：k=-1，b=4。
所以直线BQ的解析式为：y=-x+4。
②当点P在对称轴右侧，如图16，过点D作DM⊥x轴于M，DN⊥PQ于N。∵∠CDE=90°，∴∠CDM=∠EDN，∴△CDM∽△EDN，当∠DCE=30°，==3。
又DN=MQ，∴=3，∴=3，BC=3，CQ=3，∴Q（1+3，0），∴P1（1+3，）。当∠DCE=60°，点P2（1+33，-）。
当点P在对称轴的左边时，由对称性知：P3（1-3，），P4（1-33，-）。
综上所述：P1（1+3，），P2（1+33，-），P3（1-3，），P4（1-33，-）。
点评：本题考查的是二次函数的综合题：(1)利用抛物线与y轴的交点及对称轴求出点A的坐标和OC的长。(2)①利用三角形全等确定点Q的坐标，求出BQ的解析式；②根据三角形相似求出点Q的坐标，然后确定点P的坐标。
例7.（2012年南充市）在Rt△POQ中，OP＝OQ＝4，M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B。
(1)求证：MA＝MB。
(2)连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由。
解析：(1)证明：连接OM，∵Rt△POQ中OP=OQ=4,M是PQ的中点，∴OM=PM=PQ=22，∠POM=∠BOM=∠P=45°。∵∠PMA+∠AMO=∠OMB+∠AMO，∴∠PMA=∠OMB，△PMA≌△OMB。∴MA=MB。
(2)解：△AOB的周长存在最小值。理由如下:
∵△PMA≌△OMB，∴PA=OB，∴OA+OB=OA+
PA=OP=4。
令OA=x，AB=y，则y2=x2+（4-x）2=2x2-8x+16=2（x-2）2+8≥8。
当x=2时，y2有最小值为8，从而y≥22。
故△AOB的周长存在最小值，其最小值是4+22。
点评：该题涉及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理与二次函数最值的应用，综合运用这些性质进行推理是解题的关键。
五、有关操作的问题
例8.（2009年宁德市）在学习“轴对称现象”内容时，王老师让同学们寻找身边的轴对称图形。小明有一副三角尺和一个量角器（如图所示）。
(1)小明的这三件文具中，可以看做是轴对称图形的是______（填字母代号）。
(2)请用这三个图形中的两个拼成一个轴对称图案，在答题卡的指定位置画出草图（只需画出一种）。
(3)小红也有同样的一副三角尺和一个量角器，若他们分别从自己这三件文具中随机取出一件，则可以拼成一个轴对称图案的概率是多少？（请画树状图或列表计算）
解析：(1)B，C。(2)画图如图18等。
(3)画树状图如下：
一共有9种结果，每种结果出现的可能性是相同的。而其中能恰好拼成轴对称图形的结果有五种，分别是(A,A)、(B,B)、(C,C)、(B,C)、(C,B)，所以两件文具可以拼成一个轴对称图案的概率是。
点评：本题考查了轴对称图形、概率的概念。本题的精彩处是随便拿起身边的学习工具三角板、量角器进行操作就能得出数学知识。这样的考题有利于增强学生的自信心以及从身边去发现数学知识。