冯明学（南部县长坪镇小学，四川南充637340）
一、几何证明的涵义
人们对于客观事物的属性的肯定或否定的思维形式叫做判断，引用其他正确的判断来证实某一判断的正确性叫做过程，叫做对于某一判断（命题）的证明。从证明的结构来看，任何证明都是由命题、定理，证明三部分构成。
命题是指明了前提和结论的一种判断，其正确性是需要加以证明的，它在几何中的表现形式便是各个定理和习题中的证明题等。定理是指被用来作为证明的理由，它在几何中的表现形式是已知的定义、公理、定理等。教师在引导学生证明问题时常常要提问学生：“这是为什么？得到这一步的根据是什么？”这便是要求学生能够答出对于证明命题引用的根据。证明是指引用定理来证明命题的全过程，在几何中表现有步骤的推理过程，它揭示了论题被论据证明了的正确性。
二、证明的规则
1.命题必须有明确的判断。例如“大弧对大弦，大边对大角”等这样的命题，因前提不明确，无法证明。如果改写成在同圆或等圆中，大弧对大弦，在△ABC中，大边对大角，那么这些命题的前提就明确了。
2.在证明过程中，命题必须保持不变。就是说，在证明过程中如果脱离所给的命题去讲一大堆理论，也等于废话，这种逻辑错误叫做偷换概念。例如：证明四边形ABCD的对角线AC将四边形分成两个面积相等的三角形，则AC一定平分对角线BD。许多学生把四边形画成一个巨形并且按矩形加以证明，这便是偷换论题的一例。
3.来证明命题的依据必须是正确的，在证明过程中如果不是正确的理由，则证明不能生效。违反这条规则的另一种错误形式为预期理由，即证明中引用了尚未证明的定理来证明命题，例如，采用“同垂直于一条直线的两条直线互相平行”作为立体几何中的推理依据，就会产生错误。
4.定理的正确性不能依赖命题来论证。就是说，定理的正确性应该是已经证明了的，违反了这条规则叫做循环论证。
5.定理必须推出命题的充足理由，证明命题中，有时提出的理由虽然是正确的，但由于理由不充分，结果并没有真正证明命题，这种逻辑错误也叫不能推出。违反这条规则的错误之一是把“在某种条件下正确”的定理看作一切条件下都正确，但它们之间缺乏逻辑联系，由定理推不出命题。例如，从“一个三角形和另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形相似”的定理出发，不能推出任意两个矩形一定相似，因为这里的理由是不充分的。
三、几何证明中常用的方法
（一）按照在证明过程中对论题的取舍不同，论证方法可分为直接证法和间接证法两种。
1.直接证法，就是直接从所给的结论如何利用定理、证明命题的正确性的一种推理方法，几何中常用的命题都是采用这种方法证明。
2.间接证法，它是证明反命题的谬误而达到证实命题正确性的一种方法，具体的说：要证命题“A—B”而不易如手时，可以改正它的反论题“A—B”如果在推论过程中，反命题被否定那么就可以断定原来的命题是正确的，初中几何中的间接证法主要有反证法和同一法两种。
（1）反证法：它是以排中律为基础的，根据排中律可知，对于同一种问题的两种判断，它们之间如果有一个是真的，则另一个必然是假的，二者必居其一，没有第三种可能性。基于这个原因，利用反证法证明命题时，实际上不是直接证明这个命题本身，而是通过它的反命题来证明的。
例如，在初中几何命题中，证明“平行于一条直线的两条直线互相平行”这个命题，可以采用反证法。如图1，已知L1∥L2，L2∥L3，求证：L1∥L3。
证明：假设L1不平行L3，那么，L1与L3相交于P点，经过P点有两条直线L1、L3同平行于L2。这与公理“经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线”矛盾。因此L1∥L3。反证法又可分为归谬法和穷举法两种。如果一个命题的结论，它的反面只有一种情况，那么只要把这种结论推翻就达到了证明的目的，如前面的例子，就是这种证法，这种单纯的反证法叫做归谬法。如果命题的结论的反面不只一种情况，那么必须把这些情况全部列举出来，一一加以推翻之后，才能确定结论的正确性，这种由推翻结论反面的所情况来确定原命题成立的反证法叫穷举法，穷举法和归谬法实质是一样的。
（二）按照证明中推理的思路顺逆的不同，证明方法可分为分析法和综合法。
1.分析法，它是未知到已知的推理方法，这是初中几何教学中常见的方法，具体的讲就是从未知看需知，逐步靠拢已知的过程。
2.综合法，它是由已知引导到未知的推理方法，具体一点说它是“从已知，看可知，逐步推向未知”的过程。
分析法与综合法是两种不同的思维方法，它们是还有区别的，一个是从条件出发推导出结论，一个是从结论出发寻找条件，两者思考是顺逆相反的，但它们又是相联系的，不可分割的，通常我们在思考一个问题时，既有分析，又有综合，没有分析是不可能综合的，同样没有综合也不能进行分析。因此，分析和综合必须有机结合起来。