杨芹邯郸广播电视大学056000
摘要：关系是离散数学中的基本概念，而关系的性质是关系的闭包、等价关系、半序关系的基础，本文给出了关系四种性质的判定方法。
关键词：离散数学关系性质判定
关系的概念是离散数学中关系的基础，又是集合概念的应用，因此应该真正理解并熟练掌握二元关系的概念及关系矩阵、关系图表示。而关系的性质既是对关系概念的加深理解与掌握，又是关系的闭包、等价关系、半序关系的基础。对于四种性质（自反性、对称性、反对称性、传递性），有如下方法加以判定：
一、依据其定义
1.自反性：
设R是集合A上的二元关系，如果对于每一个a∈A，若有（a，a）∈R，即aRa，则称R在集合A上具有自反性。
2.对称性：
设R是集合A上的二元关系，对于任意的a、b∈A，若有（a，b）∈R，就有（b，a）∈R，则称R在集合A上具有对称性。
3.反对称性：
设R是集合A上的二元关系，对于任意的a、b∈A，若（a，b）∈R且（b，a）∈R时，必有a=b，则称R在集合A上具有反对称性。
4.传递性：
设R是集合A上的二元关系，对于任意的a、b、c∈R，若（a，b）∈R，且（b，c）∈R，就有（a，c）∈R，则称关系R在A上具有传递性。
二、依据关系矩阵和关系图的关系
1.关系R具有自反性，当且仅当在关系矩阵中，主对角线上元素全为1；或者在关系图中每个结点上都有一条自回路。
2.若关系R具有对称性，当且仅当关系矩阵是对称矩阵；或者在关系图中，若两个结点间存在有向弧，必是成对的。
3.若关系R具有反对称性，当且仅当关系矩阵中以主对角线为对称轴的对称元素不能同时为1（可以同时为0），而主对角线上的元素是1或者是0；在关系图上，若两个结点间存在有向弧，不可能成对出现，结点可以有自回路。
4.若关系R具有传递性，关系矩阵没有明显特征。关系图的特点是：任意两个结点a、b间若能通过一条以上的弧间接连结起来，则必有一条直接从a到b的弧。作为它的一种特殊情况，若两点间各有一条直接从a到b和由b到a的弧连接时，则在这两个结点a、b上必然各有一条自回路。
对于传递性的判定，难度稍大一些，要注意两点：一是不破坏传递性定义，可认为具有传递性。如空关系具有传递性，同时空关系具有对称性和反对称性，但是不具有自反性。二是介绍一种判定传递性的“跟踪法”，即若(a1,a2)∈R，(a2,a3)∈R，L(ai-1,ai)∈R，则(a1,ai)∈R；如若(a,b)∈R，（b，a）∈R，则有（a，a）∈R，且（b，b）∈R。
例1、设集合A={a，b，c，d}，判定下列关系哪些是自反的、对称的、反对称的和传递的：R1={(a,a)，(b,a)}，R2={(a,a)，(b,c)，(d,a)}，R3={(c,d)}，R4={(a,a)，(b,b)，(c,c)}，R5={(a,c)，(b,d)}。
解：依据关系性质的定义，可判定：均不是自反的；R4是对称的；R1、R2、R3、R5是反对称的；R1、R2、R3、R4、R5是传递的。
例2、设集合A={1，2，3}上的关系R1={(1,1)，(2,2)，(3,3)}，R2={(1,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)}，R3={(1,2)，(2,3)，(3,1)}，R4=ψ，说明每种关系所具有的性质。
解：先做出关系矩阵，再依据其规律加以判断。
100100
MR1=010MR2=011
001011
010000
MR3=001MR4=000
100000
由判定方法二知，R1具有自反性、对称性、反对称性与传递性；R2具有对称性与传递性；R3具有反对称性；R4具有对称性、反对称性与传递性。