导读:本文包含了高振荡微分方程论文开题报告文献综述及选题提纲参考文献，主要关键词:高振荡微分方程,Filon-type方法,绝热变换,渐近展开
高振荡微分方程论文文献综述
刘忠莉[1]（2019）在《高振荡微分方程的高效算法》一文中研究指出高振荡微分方程广泛出现于分子动力学,天体力学,量子化学,轨道力学和射频通信系统等诸多领域.高振荡微分方程的数值计算方法一直以来都是国际研究热点,同时也是常微分方程和微分代数方程数值解研究领域最困难的问题之一.由于高振荡微分方程解的高振荡特征,传统的数值方法只能采用很小的步长,造成计算工作量的快速增加和舍入误差的累积,严重影响数值解的精度和方法的计算效率.因此,高振荡问题的数值求解是一个具有挑战性的研究课题.近几十年来,众多专家学者对数值求解高振荡微分方程进行了深入研究,并取得了丰硕的研究成果.本论文主要研究高效求解高振荡微分方程的数值算法.第一章,简要介绍高振荡微分方程的基本知识以及本论文主要的研究内容.第二章,给出线性和非线性二阶高振荡微分方程的绝热Filon-type方法.为避免直接求解二阶微分方程,通过绝热变量代换,将其转化为具有光滑解且更易数值计算的一阶微分方程组.通过将积分近似为函数值和导数的线性组合,构造了线性系统的Filon-type方法.对非线性问题,我们给出Filon-type方法和波形松弛方法的一种特殊组合的数值格式.数值结果表明,这两种方法都可以在比传统方法所要求的大得多的步长下使用,并且它们的性能随着频率的增大而显着提高.第叁章,提出渐近方法来求解二阶单频高振荡微分方程.首先,将原方程转化为含有高振荡强迫项的一阶微分方程组,给出了以振荡参数幂的倒数形式的解的渐近展开式.其次,通过截断展开式的前几项,结合传统数值方法,得到了一种非常有效的数值解法.数值算例表明,所提出的渐近数值方法对求解高振动问题具有较高的精度和计算效率.第四章,设计高振荡常微分方程和哈密尔顿系统的渐近数值方法.首先,导出了以振荡参数幂的倒数形式的精确解的渐近展开式,该展开式具有每个项只含有限个非零展开系数的特点.其次,通过截断展开式的前几项,并结合传统数值方法,提出了一种有效的渐近数值解法,并证明该解法得到的数值解能几乎保持哈密尔顿系统能量.最后,用所提出的算法求解Fermi-Pasta-Ulam问题,数值结果验证了算法的有效性.(本文来源于《上海师范大学》期刊2019-03-01）
李娟[2]（2016）在《振荡微分方程的分裂方法及生物学应用》一文中研究指出振荡微分方程在分子动力学、天文学、生物学等科学与工程应用领域广泛存在并起着重要的作用.然而大部分振荡微分方程的解析解是很难得到的,因此有效的数值方法是研究振荡微分方程的重要途径.分裂方法是数值求解振荡问题的一种非常重要而且有效的方法,它主要针对可以通过某种方法分裂为若干个可积的子系统的复杂系统.由于分裂方法形式简单,通常为显式格式便于编程实现,并且能有效的保持系统的定性性质.近年来,分裂方法引起越来越多的学者的兴趣.本文旨在建立能够保持微分方程解的振荡性质的分裂方法,并应用于生物振子的数值模拟.本文共分为四章.第一章为预备知识,主要概述了研究背景和微分方程数值方法的基本概念.引入了一阶Lie-Trotter分裂法、二阶Strang分裂法、基于Strang分裂法的叁级四阶叁级跳,对一般形式的分裂方法给出了阶条件.介绍了两类生物振荡问题(食物-捕食者系统与基因调控网络)的微分方程模型.第二章分析了分裂方法的相性质,包括色散和误差.证明了Lie-Totter分裂法和Strang分裂法有2阶色散,基于Strang分裂的叁级跳有4阶色散,叁个分裂法都是零耗散的.在此基础上构造了相拟合的Lie-Trotter分裂法、Strang分裂法和叁级跳,并分析了它们的数值稳定性.数值试验显示了新的相拟合分裂法比传统的分裂法及相同代数阶的Runge-Kutta方法更为高效.第叁章运用指数变换以及冻结的技巧构造了指数型Lie-Trotter分裂方法及指数型Strang分裂方法,通过数值实验验证了指数型分裂法的优越性.第四章在传统的Runge-Kutta方法的基础上结合分裂思想,讨论了分裂的Runge-Kutta方法.利用给出的阶条件构造了二阶、叁阶分裂Runge-Kutta方法.数值试验表明新方法比同阶的RK方法具有更高的效率.最后,简要的总结了本文的主要研究贡献,并对以后的研究工作提出了展望.(本文来源于《南京农业大学》期刊2016-04-01）
高静[3]（2014）在《高阶振荡微分方程的数值算法》一文中研究指出基于高阶振荡微分方程解的特性分析,本文给出了一类渐近级数方法逼近方程的解.相比于传统的时间步长方法,该算法具有很高的计算精度,且其计算量与高振荡因子无关.数值实验证明了方法的有效性.(本文来源于《应用数学学报》期刊2014年04期）
王斌[4]（2013）在《多频振荡微分方程的几何积分方法》一文中研究指出本论文研究多频高维二阶振荡常微分方程初值问题的几何积分方法,其中M是隐含该系统振荡频率的d×d维半正定矩阵,.fRd→Rd是充分光滑的。由于线性项Mq的出现,使得该系统具有显着的结构特征,并且由矩阵M的半正定性导致该系统的解是一个多频高维非线性振子。该系统广泛存在于物理学、天文学、分子动力学、经典和量子力学、电子工程等应用科学领域,例如某些轨道计算问题、与时间无关的薛定谔方程、由波动方程借助于线方法(method of lines)得到的时间依赖的耦合常微分方程组、Fermi-Pasta-Ulam问题等都具有系统(1)的形式。因为该系统呈现了显着的振荡或高振荡特征,所以传统的算法,例如经典的Runge-Kutta型方法和线性多步法都不能给出正确的量化性态。即便是一些已有的几何积分法,如辛算法或对称方法,仍然不能有效地求解这类振荡问题。因此近年来针对有效求解多频振荡问题算法的研究受到越来越多的关注。在过去的十多年中,大多数的研究集中在单频振荡问题其中ω>0是已知频率或可以精确估计的频率。然而多频高维振荡系统(1)是更加复杂的耦合系统,单频问题的算法一般不适用于求解多频问题,主要原因体现在以下两个方面。第一、求解单频问题方法的系数都是依赖于u=ωh,而多频振荡问题(1)中M是一个d×d维矩阵,隐式地包含了多个不同的频率,因此求解单频问题的方法不能应用于多频振荡问题(1)。第二、多频振荡问题(1)本身具有耦合条件,使得针对单频问题的一些分析推导不能直接推广至多频问题,例如本论文第3章中得到的针对多频问题方法的辛条件,就比针对单频问题方法的辛条件要多一些额外的耦合条件。因此求解多频高维振荡系统(1)几何积分方法的研究是一个新的重要的挑战。因此在本论文中,我们系统地研究求解多频高维二阶振荡常微分方程(1)的几何积分方法。主要内容在第2至第8章中论述。第2章分析和构造有效的adapted Runge-Kutta-Nystrom(ARKN)方法,着重于改进经典Runge-Kutta-Nystrom方法的更新级,使更新级更好地逼近振荡系统精确解满足的积分方程,因此得到的方法在模拟解的性态上具有更好的效果。第3章考虑同时改进经典Runge-Kutta-Nystrom方法的更新级和内级,得到extend Runge-Kutta-Nystrom(ERKN)方法。为了研究ERKN方法阶条件的代数结构,我们构建了新的有根树集合并在该集合上定义了若干映射,由此导出了ERKN方法的阶条件。我们还研究了ERKN方法的辛条件和对称条件,由此分析和构造了同时保持研究系统辛结构和对称结构的辛对称ERKN方法。基于ARKN方法和ERKN方法的格式,第4章提出了两个新型的改进Stormer-Verlet算法并将它们应用于科学计算的四个不同领域。第5章研究了显式ERKN方法的误差界、证明了当矩阵M对称半正定时,显式ERKN方法的误差界与‖M‖无关,这一点对于‖M‖》1时具有重要的意义。第6章推导出一种新的精确保能量方法(同时也是对称方法),并研究了此方法的性质。第7章提出求解多频高维振荡系统(1)的一种新的叁角傅里叶配置法,由此通过选取高阶数值积分我们可以导出任意高阶的方法,这对于高精度计算具有十分重要的意义。第8章推导高效的Filon型渐近方法来求解高振荡系统(1),其中M是一个非奇异可对角化的矩阵,并且有大的特征值和‖M‖》1。论文的创新点主要有下面五个方面：第一、本文所建立的几何积分方法都是基于多频振荡系统(1)的精确解所满足的常数变易公式,充分地利用了由线性项Mq(t)带来的结构特征,使得算法的结构更好地逼近精确解的结构。第二、论文导出了解多频振荡哈密尔顿系统(H(q,p)=1/2pTp+1/2qTMq+U(q))ERKN方法的辛条件、对称条件和它们的耦合条件。第叁、不仅研究了分别保持对称性、辛性和能量的算法,而且构造了同时保持两种不同结构的方法。第四、对于隐式方法,迭代子过程不可避免。传统保能量算法应用于系统(1)时收敛性条件依赖于‖M‖,步长h必须取得非常小,然而本文导出的保能量算法收敛性条件却与||M||无关,这就允许选择较大的步长h进行计算,这一点对于长期计算具有十分重要的意义。第五、求解系统(1)的经典Gautschi型方法以及它们的理论分析都依赖于矩阵M的分解,而本文中所有几何积分方法的格式以及相应的理论分析都直接使用矩阵M,避免了矩阵M的分解。众所周知矩阵分解除了增加额外的工作量以外,往往会引入新的误差,尤其当M的维数比较大时还会导致其它不利因素。本文给出的几何积分方法成功避免了矩阵分解,使得数值计算更为高效。(本文来源于《南京大学》期刊2013-05-20）
李计勇[5]（2012）在《二阶振荡微分方程数值方法研究》一文中研究指出在纯粹数学与应用数学,以及力学,物理学,天文学,分子生物学等应用科学中常常存在振荡现象。针对这些振荡现象的建模与仿真人们已经做了大量的理论和数值的研究。典型的研究对象是如下二阶振荡系统的数值积分其中M∈Rdxd是对称半正定的矩阵,隐含了该问题的频率。尽管人们已经提出了各种可行的算法并付诸应用。但是,大多数现存的方法都没考虑到问题(1)的特殊结构,所以在实际应用中并不令人满意。我们的工作是设计和研究适应于问题(1)的特殊结构的有效方法。本论文包括以下几部分：第一章介绍有根数(Nystrom-树)和B-级数(Nystrom-级数)理论,进而导出经典的Runge-Kutta(-Nystrom)方法的阶条件。B级数理论是本论文的基石。第二章将ARKN方法从一维扰动振子推广到系统。针对一维扰动振子,Franco[22]提出了ARKN方法并且通过Nystrom-树理论导出阶条件。然而,Franco的阶条件及其推导中存在一些关键的错误。通过本文定义的适应于振荡问题的Nystrom-级数,我们导出ARKN方法正确的阶条件。第叁章提出并研究了一类两步扩展的Runge-Kutta-Nystrom型(TSERKN)方法。该方法沿用了两步混合方法[13]的框架并且在内级和更新级上都考虑了精确流的特殊结构。需要指出的是,TSERKN方法能够精确积分方程y”+My=0,并且当M→0时,退化为传统的两步混合方法。通过定义在树枝集合BT上的BBT-级数和定义在BT的子集BWT上的BBWT-级数,导出了相应的阶条件。本章还构造了叁个实用的TSERKN算法,数值实验结果表明,这些算法比近期文献中的一些算法具有更高的计算效率。第四章构造了一个新的TSERKN方法,并进一步证明该新方法的整体误差界与||M||无关。第五章给出了适应于振荡问题的新型Falkner方法。该方法扩展了[42]提出的改进的Falkner方法以适应振荡系统(1)(右端函数不含y’的情况)。与TSERKN方法一样,该方法能够精确积分方程y”+My=O。本章的一个重要结果是：当用一个κ步适应性Falkner方法解(1)时,数值解的整体误差界与||M||无关。数值实验结果表明,新型的适应性Falkner方法比改进的Falkner方法更为高效。(本文来源于《南京大学》期刊2012-05-01）
胡国仲[6]（2012）在《二阶振荡微分方程的隐式ERKN方法》一文中研究指出物理学中的弹性力学、电路问题、量子物理、天体力学等领域中的许多问题都可以归结为解具有振荡性质的常微分方程组.本论文主要研究求解具有振荡性质的二阶常微分方程初值问题的Runge-Kutta-Nystrom (RKN)型的数值方法.经典的Runge-Kutta方法从提出至今已有一百多年历史,该方法主要用来求解一阶常微分方程组的初值问题(IVP).二阶常微分方程组可以通过增加速度分量方程而转化为一阶方程组,从而可以利用Runge-Kutta方法求解Nystrom提出了直接针对二阶常微分方程组求解的RKN方法.20世纪60年代J.Butcher创立了有根树(rooted tree)与B级数理论,使得导出高阶Runge-Kutta方法成为可能.相应地,Hairer等人建立了Nystrom树理论.本学位论文共分为两章.第一章简单介绍了一些解常微分方程的数值方法,包括Runge-Kutta方法,RKN方法,指数拟合RKN方法,Adapted Runge-Kutta-Nystrom (ARKN)方法.第二章在文献[9]和[8]的基础上研究求解具有振荡性质的常微分方程的隐式Extended Runge-Kutta-Nystrom (ERKN)方法.我们重述了求解微分方程的ERKN方法及其阶条件.根据阶条件,文中构造和分析了一些隐式ERKN方法.对一维扰动振子和高维振荡系统的实验结果表明,本文构造的隐式ERKN方法用于求解具有振荡解的初值问题时具有较好的效果.(本文来源于《南京大学》期刊2012-05-01）
郑娟[7]（2012）在《叁角拟合解振荡微分方程的修正的预估校正方法》一文中研究指出以一类修正的预估校正Adams方法为基础,构造了新的叁角拟合方法,给出新方法的局部截断误差,同时对新方法作了稳定性分析。数值实验的结果表明这个新方法较原始的修正的预估校正Adams方法及其它一些常用的方法在处理振荡问题时具有明显的高效性。(本文来源于《四川理工学院学报(自然科学版)》期刊2012年02期）
郑娟[8]（2012）在《解振荡微分方程的叁角拟合叁阶线性多步法》一文中研究指出以原始的叁阶Adams-Bashforth线性多步法为基础,利用叁角拟合技术,得到了解振荡问题的叁阶叁角拟合Adams-Bashforth方法,同时给出了新方法的稳定性区域,数值实验的结果表明新方法具有有明显的高效性.(本文来源于《枣庄学院学报》期刊2012年02期）
邢淼[9]（2010）在《高振荡微分方程的Magnus展开方法》一文中研究指出高振荡微分方程是其解具有高振荡性的一类微分方程,它广泛应用于诸如分子动力学、天体力学、量子化学以及原子物理等方面。因此,研究其数值解法具有重要意义。对高振荡微分方程给出一种好的数值解法是一件非常困难的事情。近年来,Iserles利用Magnus展开方法详细研究了形如y"+g(t)y=0的线性高振荡微分方程数值解法问题,并给出了计算结果较好的数值算法。本文介绍了Hamilton方程的性质、辛几何算法、Magnus展开、修正的Magnus展开和Neumann展开方法。主要研究了形如Y'+AY=B(t,Y)Y的高振荡微分方程。首先,利用Picard迭代法推出了线性高振荡方程的修正Neumann展开形式；然后,利用修正的Magnus展开方法给出了形如该式的线性高振荡方程的数值解法。由于构造出的数值解法涉及高振荡函数的积分,我们分别用Filon方法和分段线性插值方法进行计算,给出了两种不同的数值解法。实验显示,这两种方法都可以给出较好的数值结果。最后我们将该方法推广到了求解非线性问题上来,例如将FPU问题变形为上述形式,考虑用修正的Magnus展开方法进行求解。(本文来源于《北京交通大学》期刊2010-05-01）
安徽燕[10]（2009）在《高振荡微分方程数值解法的研究》一文中研究指出高振荡微分方程是其解具有高振荡性的一类微分方程,它广泛应用于诸如分子动力学、天体力学、量子化学以及原子物理等方面。因此,研究其数值解法具有重要意义。对于高振荡微分方程,一般的数值解法难以给出好的计算结果。例如,对于形如y~n+g(t)y=0的线性高振荡方程,经典的方法在处理该类问题时均会产生较大的误差。近来,Iserles利用Magnus展开方法详细研究了该类方程数值解法问题,给出了计算结果较好的数值算法。E.Hairer等研究了高振荡微分方程对称的数值解法。本文介绍了Hamilton方程的性质、辛几何算法、对称方法、Magnus展开和Neumann展开方法。在Magnus展开和Neumann展开方法中,迭代都起着重要作用,我们考虑了利用迭代法构造高振荡微分方程的数值解法。对于基于迭代的数值解法,以FPU问题为例进行了数值实验,实验显示,该方法可给出较好的数值结果。(本文来源于《北京交通大学》期刊2009-06-01）
高振荡微分方程论文开题报告
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
振荡微分方程在分子动力学、天文学、生物学等科学与工程应用领域广泛存在并起着重要的作用.然而大部分振荡微分方程的解析解是很难得到的,因此有效的数值方法是研究振荡微分方程的重要途径.分裂方法是数值求解振荡问题的一种非常重要而且有效的方法,它主要针对可以通过某种方法分裂为若干个可积的子系统的复杂系统.由于分裂方法形式简单,通常为显式格式便于编程实现,并且能有效的保持系统的定性性质.近年来,分裂方法引起越来越多的学者的兴趣.本文旨在建立能够保持微分方程解的振荡性质的分裂方法,并应用于生物振子的数值模拟.本文共分为四章.第一章为预备知识,主要概述了研究背景和微分方程数值方法的基本概念.引入了一阶Lie-Trotter分裂法、二阶Strang分裂法、基于Strang分裂法的叁级四阶叁级跳,对一般形式的分裂方法给出了阶条件.介绍了两类生物振荡问题(食物-捕食者系统与基因调控网络)的微分方程模型.第二章分析了分裂方法的相性质,包括色散和误差.证明了Lie-Totter分裂法和Strang分裂法有2阶色散,基于Strang分裂的叁级跳有4阶色散,叁个分裂法都是零耗散的.在此基础上构造了相拟合的Lie-Trotter分裂法、Strang分裂法和叁级跳,并分析了它们的数值稳定性.数值试验显示了新的相拟合分裂法比传统的分裂法及相同代数阶的Runge-Kutta方法更为高效.第叁章运用指数变换以及冻结的技巧构造了指数型Lie-Trotter分裂方法及指数型Strang分裂方法,通过数值实验验证了指数型分裂法的优越性.第四章在传统的Runge-Kutta方法的基础上结合分裂思想,讨论了分裂的Runge-Kutta方法.利用给出的阶条件构造了二阶、叁阶分裂Runge-Kutta方法.数值试验表明新方法比同阶的RK方法具有更高的效率.最后,简要的总结了本文的主要研究贡献,并对以后的研究工作提出了展望.
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
高振荡微分方程论文参考文献
[1].刘忠莉.高振荡微分方程的高效算法[D].上海师范大学.2019
[2].李娟.振荡微分方程的分裂方法及生物学应用[D].南京农业大学.2016
[3].高静.高阶振荡微分方程的数值算法[J].应用数学学报.2014
[4].王斌.多频振荡微分方程的几何积分方法[D].南京大学.2013
[5].李计勇.二阶振荡微分方程数值方法研究[D].南京大学.2012
[6].胡国仲.二阶振荡微分方程的隐式ERKN方法[D].南京大学.2012
[7].郑娟.叁角拟合解振荡微分方程的修正的预估校正方法[J].四川理工学院学报(自然科学版).2012
[8].郑娟.解振荡微分方程的叁角拟合叁阶线性多步法[J].枣庄学院学报.2012
[9].邢淼.高振荡微分方程的Magnus展开方法[D].北京交通大学.2010
[10].安徽燕.高振荡微分方程数值解法的研究[D].北京交通大学.2009
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