孙一丹
（哈尔滨师范大学数学科学学院，黑龙江哈尔滨150025）
中图分类号：TJ765文献标识码：A文章编号：1673-0992（2011）07-049
摘要：本文通过采用瞬时碰撞点思想，对时间求导，来推导微分几何制导律，同时给出了相应目标捕获的充分条件。
关键字：微分几何；制导律；捕获性能
一、微分几何制导律的推导
图1-1平面相对运动关系
拦截目标导弹的平面相对运动关系如图1-1所示1所示。其中，E、P分别表示目标和导弹的相关状态；Vd为设计参数，指向瞬时碰撞点，其大小与导弹速度一样。现在将导弹和目标视为质点，分别以常速VP、VE运动，且VE<VP，则其相互关系如下：
Vθ=rθ=VEsin(VE-θ)-VPsin(VP-θ)，……①
Vr=r=VEcos(VE-θ)-VPcos(VP-θ)，……②
Vdθ=rθ=VEsin(VE-θ)-Vdsin(Vd-θ)……③
上式中的下标θ、r分别表示垂直视线方向和沿视线方向的相对速度分量，aE、aP、ad分别为目标、导弹和对应Vd的法向加速度，并且符合：
VE=aE/VE，VP=aP/VP，Vd=ad/Vd.
由图1-1可知，若要实现对目标的有效拦截，必须满足Vdθ→0，得出
Vdsin(Vd-θ)=VPsin(Vd-θ)，即：……
式中：Vd=VE*cos(VE-θ)-VPcos(Vd-θ)，当考虑到实际中的弹目相对运动情况，则
，该该式子为所设计的几何制导律。A取适当的数值时:
非机动目标:Vθ→0时，aP→0；机动目标:Vθ→0时，aP→aEcos(VE(tf)-θ(tf))/cos(γP(tf)-θ(tf))，且为零的充分条件为sin(VP(tf)-θ(tf))=m和Vr=-VP1-m2.式中:m=VE/VP，tf为拦截时间，在实际情况中这两个条件往往很难满足，所以，对于存在目标机动的情况下aP一般为非零的值。然而，该制导律的执行需要一个在线估计器对目标速度和加速度进行估计，通过进一步分析简化得：式中:θ0、r0分别为初始视线转率和初始弹目距离，当A>2，r→0时，视线转率θ•→0，这一结论与目标机动与否无关，且θ与θ0符号保持一致。
二、捕获条件的分析
1．相对速度空间
图2-1捕获区域划分
如图2-1所示，区域Ⅰ中:Vr≠0，捕获条件相对较为简单，根据式子：Vθ=(A-1)Vrθ，只需A>1，0<Vθ0<VP-VE，Vr0<0，即可实现对于目标的捕获，即Vθ→0，而区域Ⅱ中捕获条件的分析需要采用直线分割法和圆法进行研究。
2．区域Ⅱ圆分割法的捕获条件分析
图2-2半圆曲线划分
如图2-2所示，圆弧曲线可采用(Vθ-VP)2+V2r=V2E表示，则
dVr/dVθCD=(VP-Vθ)/Vr.由于dVr/dVtraj>dVr/dVCD得圆分割下的捕获条件为:A>2VθVP/(V2P-V2E)
3．区域Ⅱ直线分割法的捕获条件分析
图2-3区域Ⅱ内的捕获区域
该法与上面不同的是通过使用直线分割法来分割区域II，捕获区域会因为起始点的(Vθ0，Vr0)的不同而不同。上基本思路是由过原点和初始点的直线将区间Ⅱ分割为上、下两部分，对于下面一部分，Vr≠0，从而进一步利用上文相关式子的条件求取使得Vθ→0的捕获条件。通过以上公式的推算，进而得出成功实现捕获的条件，并且该条件与上面通过圆分割法分析所得到捕获条件相同，体现出两种方法的高度一致性。
四、结语
综上所述，本文通过在时域内推导了一种微分几何制导律，并分析了其在相对速度空间中的捕获性能，通过计算得出了目标捕获的充分条件，对于不同的捕获区域，以及目标是否机动等进行了较为完善的仿真分析，所得的结果与目标捕获的充分条件很吻合。