OnDescribingFunctionalImageBasedonDichotomy
罗远峰淤LUOYuan-feng曰王净于WANGJing（淤遵义师范学院数学与计算科学学院，遵义563002；于贵州省习水县树人中学，习水564600）（淤SchoolofMathematicsandComputerScience，ZunyiNormalCollege，Zunyi563002，China；于GuizhouXishuiCountyShurenMiddleSchool，Xishui564600，China）
摘要院本文结合导数研究函数的单调性、凹凸性的方法，从二分法的基本思想入手，用二分法描绘函数图像，得出二分法求拐点横坐标近似值、描绘函数的图像的基本步骤，进而拓展了二分法的应用。
Abstract:Combinedwiththederivative,thispaperanalysesthemonotonicityandconvexityofthefunction,describesthefunctionalimagebyusingdichotomy,getsthedichotomyofinflectionpointx-coordinateapproximationandbasicstepsofdescribingfunctionalimage,thenexpandstheapplicationofdichotomy.
关键词院二分法；函数图像；描绘Keywords:dichotomy；functionalimage；describe中图分类号院O174文献标识码院A文章编号院1006-4311（2014）16-0234-020
引言众所周知，用近似值的方法描绘出函数图像，若取值越精确、描点越稠密，所得图象就越准确。近似求解的方法发展到今天，已经成为数学领域一个独立的分支。“逐步搜索法、二分法、牛顿法、迭代法、玄截法、抛物线法等”[1]，都是计算数学中用于计算近似值的基本方法。二分法已经用于求方程近似的解、求函数零点及极值点的近似值、广义多项式求值、证明实数连续性中的部分定理、证明不等式等。但却还未涉足用以描绘函数的图像。因此，本文阐述了如何用二分法描绘函数图像及其优越性。
1二分法求函数零点近似值的步骤“若函数（fx）在区间[a，b]上连续，且有（fa）（fb）<0，则（fx）在区间[a，b]内有零点。通过不间断地把函数（fx）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法”[2]。求函数零点近似值的步骤：淤确定区间[a，b]，验证（fa）（fb）<0，给定精确度着；于求中点c=a+2b；盂计算f（c）；若f（c）=0，则c就是函数的零点；若（fa）（fc）<0，则令a（此时零点x0沂（a，c））；若f（b）f（c）<0，则令a=c（此时零点x0沂（c，b））；榆判断是否达到精确度着；即若|a-b|<着，则得到零点近似值a（或b），否则重复于耀榆。
2用二分法求函数的零点和极值用二分法求函数极值的近似值，主要是利用函数的驻点来对函数的极值求近似值，这类问题要求函数本身在给定的区间上具有一阶导数，如果所求函数的导函数不是基本初等函数，那么选择用二分法去求它的近似值完全适用。
由于|3.0234375-3.03125|=0.0078125<0.01，因此，导函数方程的零点近似解可取为x=3.02734375。又因为x=3.02734375时y忆>0，x=3.0234375时y忆<0，所以函数y=x4-4x3-x的极值点的近似值为y抑-31。
3用二分法求函数的拐点函数拐点是函数图象上凸和下凸的分界点，而函数的凸性在具体描述函数的性态和证明不等式方面有广泛的运用。因此，利用二分法求函数拐点的近似值能够更准确地描绘函数的图像，拓展二分法的应用。在求函数拐点的近似值时，仍需要从函数拐点的定义入手，利用函数二阶导数的性质来为二分法的应用提供条件。所以，要求函数具备二阶导数。
例2：求函数y=x4-4x3-ln|x（|x沂R，x屹0）的零点、极值点、拐点的近似值（精确到0.01），并描绘函数的图像。
解：由于此函数在（x沂R，x屹0）上存在二阶导数，其二阶导函数为y义=12x2-24x+1x2{x|x沂R，x屹0}，令y义<0，利用逐步搜索法取区间长度为0.5，得出二阶导函数的零点所在区间为（1.5，2）和（0，1），区间端点导函数值y32义<0，y1义<0，然后求二阶导函数零点的近似值。
由于|1.976525-1.98437125|<0.01，|0.375-0.3828125|<0.01，因此可取二阶导函数的零点分别为x1=0.375，x2=0.976525。此时，y1抑0.97，y2抑-16.41。由函数拐点的定义可知，（x1，y1）是函数的拐点，又因为（x2，y2）左侧下凸，右侧下凸。所以（x2，y2）不是函数的拐点。参照例1的方法，求得函数y=x4-4x3-ln|x|的零点近似值分别为x3越0.5495，x4=4.015；导函数y忆=4x3-12x2-1x的零点近似值分别为x5=-0.4175，x6=3.0215,此时,函数极值的近似值分别为y5抑1.2,y6抑-29.37。
4用二分法描绘函数图像的认识4.1用二分法描绘函数图像的优越性利用二分法描绘函数图像主要是利用函数的零点、极值点、拐点的近似值，以整体把握函数的基本性质，进而描绘出函数的图像，而且在求某些函数的渐近线上仍然可以运用二分法。另外，“基于区间套定理的理论基础结合‘代整为零，积零为整’的数学思想，二分法可以有效证明不等式。”[3]“二分法简单直观，特别适合用来求迭代法的初值。”[4]总之，用二分法求近似值的思想易于理解，便于掌握。
4.2用二分法描绘函数图像的弱点及改进设想从以上几个例子容易看出，“用二分法求函数零点近似值收敛速度太慢”，如果不借助计算机，很难操作，且用二分法求函数的零点、极值点、拐点方面常常很难找全零点所在的区间。另外“用二分法求函数零点时，如果在区间[a，b]内有多个实根，则单独利用二分法只能得到其中一个实根”[5]。
因此在找函数的零点问题上，可考虑用函数的极值、单调性、拐点等来探求函数零点的近似值，可以综合运用其它来描绘函数图像，这样便解决了收敛速度过慢的问题，但在这方面需要进一步探索。
5结束语本文仅仅研究了二分法描绘函数图像的一些步骤，结合自身实践对该方法的优劣与发展提出了看法和设想，认识难免肤浅，还需今后进一步探究。另外，也期待对该方法有研究者的交流指导。
参考文献院[1]肖筱南.现代数值计算方法[M].北京:北京大学出版社,2003，7（第1版）：80-83.[2]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书数学必修1（A版）[M].北京：人民教育出版，2007，1（第2版）：89-91.[3]刘小明.二分法思想的应用[J].高中生之友,2011，12(9)：27-28.[4]郑成德,李志斌,王国灿,孙日明,李炎淼.数值计算方法[M].北京：清华大学出版社,2010，9（第1版）:142-158.[5]徐士良.数值分析与计算法[M].北京：机械工业出版社，2007，1（第1版）：154-156.基金项目院遵义师范学院基础教育研究课题（编号：13ZYJ032），贵州省高等学校教学质量与教学改革工程项目（黔教高发[2013]446号）。
作者简介院罗远峰（1983-），男，贵州遵义人，遵义师范学院数学与计算科学学院讲师，主要从事软件建模及设计、优化算法研究。