函数极值点偏移问题的思考

函数极值点偏移问题的思考

(河北师大附中高三三班河北石家庄050000)

摘要:从一道小题出发,解析函数极值点偏移问题,启发学生形成良好的思维习惯,培养探索意识,发现提出并独立解决问题。

关键词:极值点偏移,对称设法,构造函数,转换区间

一、函数类型:单峰函数

解决问题:“x1+x2“与某个恒定值m的大小关系

(其中x1与x2分居极值点两侧,且f(x1)=f(x2)=0,m∈R)

解决要点:①对称设法

②构造函数——函数与0的关系很确定

③转换区间

二、例题分析:

其次,运用对称设法构造函数,确定函数与0的大小关系并进行论证

问题一:定义域设在哪个单调区间?

解答:设在单调区间小的那个里面,因为如果设在单调区间大的那个里面,在转换区间时有可能出现x1(x2)不在定义域内的情况。

问题二:如何去构造函数?

解答:不妨设x1在“小区间”内,x2在“大区间“内,点为函数的极值点

①找出关于(x1,0)关于x=对称的点(m-x1,0)

②将x1,x2落实对应到f(x)中作差:f(m-x1)-f(x2)

③由于f(x1)=f(x2)用f(x1)替换f(x2):f(m-x1)-f(x1)

④用x替换x1,得出构造的函数:F(x)=f(m-x)-f(x)(-<x<0)

问题三:如何确定构造的函数与0的大小关系?

解答:根据f(x)在”大区间“内的单调性和“x1+x2”与m的大小关系确定与0的关系,并用函数知识(含参讨论或分离)进行论证.

以本题为例:

要证:x1+x2>0

只要证:-x1<x2

又-x1,x2∈(0,+∞)

f(x)在(0,+∞)上单减

∴只要证:f(-x1)>f(x2)即f(-x1)-f(x2)>0

又∵f(x1)=f(x2)

∴F(x1)=f(-x1)-f(x1)>0即可

只要证:F(x)=f(-x)-f(x)>0在(-,0)上恒成立即可

设F(x)=f(-x)-f(x)(,0)

F(x)=f(-x)-f(x)=-+2ax

F’(x)=-+2a

=<0

∵x∈(-,0)

∴∈(0,1)

∴1->0

∴F’(x)<0

说明F(x)在(,0)上单减

∴F(x)>F(0)=0

即f(-x)-f(x)>0在(,0)上恒成立

最后,转换区间,得出结论。

∵x1∈(,0)

∴f(-x1)-f(x1)>0

即f(-x1)-f(x2)>0

即f(-x1)>f(x2)

又-x1,x2∈(0,+∞)

且f(x)在(0,+∞)上单减

∴-x1<x2

∴x1+x2>0

三、思考与总结:

极值点问题既是一类函数问题,又是一种处理函数问题的手法。在本题的解答过程中,我们体会到:要培养良好的逻辑分析能力,时刻保持严谨的态度,从本质出发,确立问题的程序,再不断打磨细节之处,从而解决问题。

参考文献:

[1]导数函数零点整体代换法的应用[J].苏凡文.数学通讯2015年Z3期

[2]函数极值的求法及其在经济管理中的应用[J].杨玉希.课程教育研究2015年28期

[3]高中数学导数公式的应用[J].刘晓周.理科考试研究2015年23期

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