江西省吉安市白鹭洲中学343000
数列是近几年高考中的重点、难点，也是热点。所占分值约为12％-16％，并在解答题中必有一道且往往是以压轴题的形式出现，可见其重要性非同一般。从近几年高考数列题中不难发现，大部分试题都与通项公式有关，也进一步说明数列通项公式求法的重要性。
其实，各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。当前我认为掌握了数列通项公式应是研究数列其它性质的重要前提，也会使我们解决数列相关问题变得更简单化。在平时教育教学中，很多学生学完了数列这章后总会感到数列很难，尤其是对数列通项公式求法感到很棘手。
类型1：f（Sn，an）=0型的
这种类型一般利用an=与an=Sn-Sn-1=f（an）-f（an-1）消去Sn（n≥2）或与Sn=f（Sn-Sn-1）（n≥2）消去an进行求解。
例题1：已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+（-1）n，n≥1。
（1）写出数列{an}的前3项a1，a2，a3。
（2）求数列{an}的通项公式。
分析：Sn=2an+（-1）n，n≥1------------①
由a1=S1=2a1-1，得a1=1----------------②
由n=2得，a1+a2=2a2+1，得a2=0----------③
由n=3得，a1+a2+a3=2a3-1，得a3=2--------④
用n-1代n得Sn-1=2an-1+（-1）n-1---------⑤
①-⑤：an=Sn-Sn-1=2an-2an-1+2（-1）n
即an=2an-1-2（-1）n------------------⑥
an=2an-1-2（-1）n=2[2an-2-2（-1）n-1]-2（-1）n=22an-2-22（-1）n-1-2（-1）n
=…=2n-1a1-2n-1（-1）-2n-2（-1）2-…2（-1）n
=[2n-2+（-1）n-1]-------------------⑦
类型2：递推公式为an+1=an+f（n）
解法：把原递推公式转化为an+1-an=f（n），利用累加法（逐差相加法）求解。
例题2：已知数列{an}满足a1=，an+1=an+，求an。
解：由条件知：an+1-an=＝＝-，分别令n=1，2，3，…，（n-1），代入上式得（n-1）个等式累加之，即（a2-a1）+（a3-a2）+（a4-a3）+…+（an-an-1）
=（1-）+（-）+（-）+…+（－）
所以an-a1=1-，∵a1=，∴an=+1-=-。
类型3：递推公式为an+1=f（n）an
解法：把原递推公式转化为=f（n），利用累乘法（逐商相乘法）求解。
例题3：已知数列{an}满足a1=，an+1=an，求an。
解：由条件知=，分别令n=1，2，3…，（n-1），代入上式得（n-1）个等式累乘之，即···…·=×××…×＝，又∵a1=，∴an=。
类型4：递推公式为an+1=pan+q（其中p，q均为常数，pq（p-1）≠0）
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：an+1-t=p（an-t），其中t=，再利用换元法转化为等比数列求解。
例题4：已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+3，求an。
解：设递推公式an+1=2an+3可以转化为an+1-t=2（an-t）即an+1=2an-tt=3。
故递推公式为an+1+3=2（an+3），令bn=an+3，则b1=a1+3=4，且＝=2。所以{bn}是以b1=4为首项，2为公比的等比数列，则bn=4×2n-1=2n+1，所以an=2n+1-3。