抓住特点快速解题
柳智
摘要：在中学数学教学中，培养学生大胆设想，敢于探索，勇于求异的思维，是当前教学改革的一个重要课题。本文结合例题论述了在数学教学中如何抓住题目特点来解题。
关键词：特点；函数；解题
作者简介：柳智，任教于陕西榆林市苏州中学。
在数学教学中，若能启发学生从多角度、多渠道进行广泛的联想，则能得到许多构思巧妙、新颖独特、简捷有效的解题方法，而且还能处理对知识的理解，有利于激发学生的学习兴趣，培养学生的创新思维能力。
二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延。作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系。
学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征。从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法。
例如：在学习和应用二次函数的知识解题时，常常会碰到求二次函数表达式的问题，这时候，若根据已知条件抓住特点，巧妙地设出二次函数的表达式，则往往可以起到化繁为简的效果。
如求二次函数的解析式，只要有三点的坐标，一般解析式设为y=ax2+bx+c，代入点的坐标均可求出解析式。
例1已知一个二次函数的图象经过（-1，10）、（1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式。
解：设所求二次函数为y=ax2+bx+c
由已知，函数图像过（-1，10）、（1、4）、（2，7）三点，
得
a-b+c=10
a+b+c=4
4a+2b+c=7
解这个方程组，得a=2b=-3c=5
因此二次函数y=3x2-3x+5
例2已知，满足1且，求的取值范围。
分析：本题中，所给条件并不足以确定参数的值，但应该注意到：所要求的结论不是的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以把1和当成两个独立条件，先用和来表示。
解：由，可解得：
将以上二式代入，并整理得
,
∴.
又∵，,
∴.
例3已知二次函数，当时，有，求证：当时，有。
分析：研究的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参数。确定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑，，，这样做的好处有两个：一是的表达较为简洁，二是由于正好是所给条件的区间端点和中点，这样做能够较好地利用条件来达到控制二次函数范围的目的。
要考虑在区间上函数值的取值范围，只需考虑其最大值，也即考虑在区间端点和顶点处的函数值。
解：由题意知：，
∴，
∴.
由时，有，可得.
∴,
.
（1）若，则在上单调，故当时，
∴此时问题获证。
（2）若，则当时，
又，
∴此时问题获证。
综上可知：当时，有。
一、如果与y轴交点的坐标是（o，m），则解析式设为y=ax2+bx+m，这样再有两点坐标，就可求出解析式
例4：已知一个二次函数的图象经过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式。
解：∵二次函数的图象经过点（0，1），即图象在y轴上的截距为1
∴解析式可设为y=ax2+bx+1
又∵图象经过（2，4）、（3，10）两点
∴代入得
4a+2b=3
9a+3b=9
解之得a=，b=-
∴所求解析式的关系式为y=（）x2-（）x+1
二、如果已知与x轴相交两点的坐标，解析式可设为y=a(x-x1)(x-x2)
例5：二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴的交点为（3，0）、（-1，0），求此函数解析式。
解：∵y=x2+bx+c的图象与x轴的交点为（3，0）、（-1，0）
∴可设y=(x-3)(x+1)
∴y=x2-2x-3
三、已知二次函数顶点的坐标，则解析式可设为顶点式y=a(x-h)+k的形式，这样只要再知道一个点坐标就可求出解析式
例6：已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式。
解：∵该二次函数的顶点坐标是（8，9），
∴可设该二次函数关系式为y=a(x-8)2+9
又∵图象过点（0，1）
∴有1=a(0-8)2+9则a=-
∴这个二次函数的关系式为：y=-()(x-8)2+9
即y=-()x2+2x+1
四、如果已知对称轴是y轴，则解析式可设为y=ax2+h,再有两个点的坐标就可求出解析式
例7：二次函数的对称轴是y轴，而又经过（2，3）、（-1，4），求解析式。
解：∵二次函数的对称轴是y轴
∴设y=ax2+h
把点（2，3）、（-1，4）代入得
4a+h=3
a+h=4
解之得a=-1/3h=4×
∴y=-（）x2+4×
五、如果既知道二次函数的对称轴是y轴，又知道过原点，则解析式直接可设成y=ax2
例8：二次函数的图象经过原点，对称轴是y轴，又经过（-3，18），求解析式。
解：∵二次函数的图象经过原点，对称轴是y轴
∴解析式可设为y=ax2
把（-3，18）代入，得
a=2
∴解析式y=2x2
总之，如果掌握了方法，在解决有关的问题时将十分顺手，并且调动了学生思维的积极性，使学生的思维得到不断锻炼，从而有力地促进了学生智力的发展，提高了学生的解题能力。
参考文献：
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[2]马忠林.数学教育评价[M].广西：广西教育出版社，1998.
[3]马忠林.数学学习论[M].广西：广西教育出版社，1996.
[4]徐广华.加强开放性问题的教学，培养创新思维能力[J].数学通讯社.2001，（5）.
作者单位：陕西榆林市苏州中学
邮政编码：719000
GraspingCharactersandQuicklySolvingProblems
LiuZhi
Abstract:Inmiddleschoolmathematicsteaching,cultivatingstudents’abilitiestoassume,exploreandseekdifferencesisanimportantissueinteachingreform.Thispaperexpoundshowtograspcharactersofproblemsandtosolveproblemsaccordingtomathematicalexamplesinmathematicsteaching.
Keywords:characters;function;solvingproblems