浅谈二次函数在高中阶段的应用

浅谈二次函数在高中阶段的应用

重庆市酉阳县第一中学石超

在初中教材中,对二次函数作了较详细的研究,由于初中学生基础薄弱,又受其接受能力的限制,这部份内容的学习多是机械的,很难从本质上加以理解。进入高中以后,尤其是高三复习阶段,要对他们的基本概念和基本性质(图象以及单调性、奇偶性、有界性)灵活应用,对二次函数还需再深入学习。

一、进一步深入理解函数概念

初中阶段已经讲述了函数的定义,进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射,接着重新学习函数概念,主要是用映射观点来阐明函数,这时就可以用学生已经有一定了解的函数,特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A(定义域)到集合B(值域)上的映射?:A→B,使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应,记为?(x)=ax2+bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则,又表示定义域中的元素X在值域中的象,从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识,在学生掌握函数值的记号后,可以让学生进一步处理如下问题:

类型1:已知?(x)=2x2+x+2,求?(x+1)。这里不能把?(x+1)理解为x=x+1时的函数值,只能理解为自变量为x+1的函数值。

类型2:设?(x+1)=x2-4x+1,求?(x)。这个问题理解为,已知对应法则?下,定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1,求定义域中元素X的象,其本质是求对应法则。

一般有两种方法:(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。?(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6,再用x代x+1得?(x)=x2-6x+6。(2)变量代换:它的适应性强,对一般函数都可适用。令t=x+1,则x=t-1∴(t)=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6从而?(x)=x2-6x+6。

二、二次函数的单调性,最值与图象

在高中阶阶段学习单调性时,必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间(-∞,-b/2a]及[-b/2a,+∞)上的单调性的结论用定义进行严格的论证,使它建立在严密理论的基础上,与此同时,进一步充分利用函数图象的直观性,给学生配以适当的练习,使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。

类型3:画出下列函数的图象,并通过图象研究其单调性。

(1)y=x2+2|x-1|-1

(2)y=|x2-1|

(3)y=x2+2|x|-1

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示,然后画出其图象。

类型4:设?(x)=x2-2x-1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t)。求:g(t)并画出y=g(t)的图象。

解:?(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,在x=1时取最小值-2

当1∈[t,t+1]即0≤t≤1,g(t)=-2

当t>1时,g(t)=?(t)=t2-2t-1

当t<0时,g(t)=?(t+1)=t2-2

首先要使学生弄清楚题意,一般地,一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值,但当定义域发生变化时,取最大或最小值的情况也随之变化,为了巩固和熟悉这方面知识,可以再给学生补充一些练习。如:y=3x2-5x+6(-3≤x≤-1),求该函数的值域。

三、二次函数的知识,可以准确反映学生的数学思维

类型5:设二次函数?(x)=ax2+bx+c(a>0)方程?(x)-x=0的两个根x1,x2满足0<x1<x2<a。

(1)当X∈(0,x1)时,证明X<?(x)<x1。

(2)设函数?(x)的图象关于直线x=x0对称,证明x0<x2。

解题思路:

本题要证明的是x<?(x),?(x)<x1和x0<x2,由题中所提供的信息可以联想到:①?(x)=x,说明抛物线与直线y=x在第一象限内有两个不同的交点;②方程?(x)-x=0可变为ax2+(b-1)x+1=0,它的两根为x1,x2,可得到x1,x2与a.b.c之间的关系式,因此解题思路明显有三条①图象法②利用一元二次方程根与系数关系③利用一元二次方程的求根公式,辅之以不等式的推导。

二次函数,它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数,可以以它为代表来研究函数的性质,可以建立起函数、方程、不等式之间的联系,可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题,考查学生的数学基础知识和综合数学素质,特别是能从解答的深入程度中,区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。

二次函数的内容涉及很广,本文只讨论至此,希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识,使我们对它的研究更深入。

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